Problem 219 (Van Khea)

គេអោយបីចំនួនពិតវិជ្ជមាន x, y, z ផ្ទៀងផ្ទាត់ x+y+z=3 ។ ស្រាយបញ្ចាក់ថាៈ
\displaystyle \frac{1}{x^2y+2}+\frac{1}{y^2z+2}+\frac{1}{z^2x+2}\geq 1
សំរាយបញ្ជាក់
យើងមានៈ \displaystyle \frac{1}{x^2y+2}=\frac{1}{2}(1-\frac{x^2y}{x^2y+2})\geq \frac{1}{2}(1-\frac{x^2y}{3\sqrt[3]{x^2y}})=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3}x^{\frac{4}{3}}y^{\frac{2}{3}})
ដូចនេះយើងបានៈ
\displaystyle \frac{1}{x^2y+2}+\frac{1}{y^2z+2}+\frac{1}{z^2x+2}\geq \frac{3}{2}-\frac{1}{6}(x^{\frac{4}{3}}y^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{4}{3}}z^{\frac{2}{3}}+z^{\frac{4}{3}}x^{\frac{2}{3}})
ឥឡូវយើងត្រូវស្រាយថាចំពោះ x+y+z=3 នាំអោយយើងបាន \displaystyle x^{\frac{4}{3}}y^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{4}{3}}z^{\frac{2}{3}}+z^{\frac{4}{3}}x^{\frac{2}{3}}\leq 3
យើងមានៈ \displaystyle x^{\frac{4}{3}}y^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{x^2y}.\sqrt[3]{xy}.\sqrt[3]{x}
ដូចនេះយើងបានៈ
\displaystyle x^{\frac{4}{3}}y^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{4}{3}}z^{\frac{2}{3}}+z^{\frac{4}{3}}x^{\frac{2}{3}}\displaystyle =\sqrt[3]{x^2y}.\sqrt[3]{xy}.\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y^2z}.\sqrt[3]{yz}.\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z^2x}.\sqrt[3]{zx}.\sqrt[3]{z}
ម្យ៉ាងទៀតតាមវិសមភាព Holder យើងមានៈ
\displaystyle (\sqrt[3]{x^2y}.\sqrt[3]{xy}.\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y^2z}.\sqrt[3]{yz}.\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z^2x}.\sqrt[3]{zx}.\sqrt[3]{z})^3\displaystyle \leq (x^2y+y^2z+z^2x)(xy+yz+zx)(x+y+z)
\displaystyle \Leftrightarrow (x^{\frac{4}{3}}y^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{4}{3}}z^{\frac{2}{3}}+z^{\frac{4}{3}}x^{\frac{2}{3}})^3\leq (x^2y+y^2z+z^2x)(xy+yz+zx)(x+y+z)
យើងនឹងស្រាយថាៈ \displaystyle  (xy+yz+zx)(x^2y+y^2z+z^2x)\leq \frac{(x+y+z)^5}{27}
មិនបាត់បង់លក្ខណៈទូទៅនៃលំហាត់ទេ យើងឧបមាថា x\leq y\leq z នោះយើងបានៈ
(y-x)(z-y)\geq 0\Leftrightarrow y^2+zx\leq y(z+x)
\Rightarrow x^2y+z(y^2+zx)\leq x^2y+yz(z+x)
\Leftrightarrow x^2y+y^2z+z^2x\leq y(z^2+zx+x^2)
\displaystyle \Rightarrow (xy+yz+zx)(x^2y+y^2z+z^2x)\leq y(xy+yz+zx)(z^2+zx+x^2)
តាមវិសមភាព AM - GM យើងមានៈ
\displaystyle (xy+yz+zx)(z^2+zx+x^2)\leq \biggl(\frac{xy+yz+zx+z^2+zx+x^2}{2}\biggl)^2\displaystyle \leq \frac{(z+x)^2(x+y+z)^2}{4}
\displaystyle \Rightarrow y(xy+yz+zx)(z^2+zx+x^2)\leq \frac{y(z+x)^2(x+y+z)^2}{4}
ម្យ៉ាងទៀតយើងមានៈ
\displaystyle \frac{y(z+x)^2}{4}=y.\frac{z+x}{2}.\frac{z+x}{2}\leq \biggl(\frac{y+\frac{z+x}{2}+\frac{z+x}{2}}{3}\biggl)^3
\displaystyle \Leftrightarrow \frac{y(z+x)^2}{4}\leq \frac{(x+y+z)^3}{27}
\displaystyle \Rightarrow (xy+yz+zx)(x^2y+y^2z+z^2x)\leq \frac{(x+y+z)^5}{27} ពិត។
ដូចនេះយើងបានៈ
\displaystyle \Rightarrow (xy+yz+zx)(x^2y+y^2z+z^2x)(x+y+z)\leq \frac{(x+y+z)^6}{27}
\displaystyle \Rightarrow (x^{\frac{4}{3}}y^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{4}{3}}z^{\frac{2}{3}}+z^{\frac{4}{3}}x^{\frac{2}{3}})^3\leq \frac{(x+y+z)^6}{27}=3^3
\displaystyle \Rightarrow x^{\frac{4}{3}}y^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{4}{3}}z^{\frac{2}{3}}+z^{\frac{4}{3}}x^{\frac{2}{3}}\leq 3
\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{x^2y+2}+\frac{1}{y^2z+2}+\frac{1}{z^2x+2}\geq \frac{3}{2}-\frac{1}{6}.3=1
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។ សមភាពកើតមានពេល x=y=z=1

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: