218 គណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ

(វ៉ាន់ ឃា): ស្រាយបញ្ជាក់ថាចំពោះបីចំនួនពិតវិជ្ជមាន a, b, c គេបានៈ
27((ab)^5+(bc)^5+(ca)^5)^2\leq (a^4+b^4+c^4)^5
សំរាយបញ្ជាក់
តាង a=\sqrt[4]{x}; b=\sqrt[4]{y}; c=\sqrt[4]{z}
នោះវិសមភាពខាងលើទៅជាៈ
\displaystyle 27((xy)^{\frac{5}{4}}+(yz)^{\frac{5}{4}}+(zx)^{\frac{5}{4}})^2\leq (x+y+z)^5
យើងមានៈ \displaystyle (xy)^{\frac{5}{4}}=(x^2y)^{\frac{1}{4}}.(xy^2)^{\frac{1}{4}}.(xy)^{\frac{1}{2}}
ដោយ \displaystyle \frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=1
តាមវិសមភាព Holder យើងមានៈ
\displaystyle (x^2y)^{\frac{1}{4}}.(xy^2)^{\frac{1}{4}}.(xy)^{\frac{1}{2}}+(y^2z)^{\frac{1}{4}}.(yz^2)^{\frac{1}{4}}.(yz)^{\frac{1}{2}}+(z^2x)^{\frac{1}{4}}.(zx^2)^{\frac{1}{4}}.(zx)^{\frac{1}{2}}\displaystyle \leq (x^2y+y^2z+z^2x)^{\frac{1}{4}}(xy^2+yz^2+zx^2)^{\frac{1}{4}}(xy+yz+zx)^{\frac{1}{2}}
\displaystyle \leq ((x^2y+y^2z+z^2x)(xy+yz+zx))^{\frac{1}{4}}\displaystyle .((xy^2+yz^2+zx^2)(xy+yz+zx))^{\frac{1}{4}}
ម្យ៉ាងទៀតយើងមានៈ
\displaystyle (x^2y+y^2z+z^2x)(xy+yz+zx)\leq \frac{(x+y+z)^5}{27}
\displaystyle (xy^2+yz^2+zx^2)(xy+yz+zx)\leq \frac{(x+y+z)^5}{27}
(ចំពោះវិសមភាពទាំងពីរខាងលើនេះខ្ញុំធ្លាប់បានស្រាយជូនរួចមកហើយ ហេតុនេះខ្ញុំសូមមិនស្រាយជូនទៀតទេ។ ហើយមិត្តអ្នកសិក្សានៅមិនទាន់ចេះស្រាយទេ មិត្តអ្នកសិក្សាអាចចុចនៅទីនេះដើម្បីមើលសំរាយបញ្ជាក់)
នោះយើងបានៈ
\displaystyle (x^2y)^{\frac{1}{4}}.(xy^2)^{\frac{1}{4}}.(xy)^{\frac{1}{2}}+(y^2z)^{\frac{1}{4}}.(yz^2)^{\frac{1}{4}}.(yz)^{\frac{1}{2}}+(z^2x)^{\frac{1}{4}}.(zx^2)^{\frac{1}{4}}.(zx)^{\frac{1}{2}}\displaystyle \leq \frac{(x+y+z)^{\frac{5}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}
\displaystyle \Leftrightarrow (xy)^{\frac{5}{4}}+(yz)^{\frac{5}{4}}+(zx)^{\frac{5}{4}}\leq \frac{(x+y+z)^{\frac{5}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}
\displaystyle \Rightarrow 27((xy)^{\frac{5}{4}}+(yz)^{\frac{5}{4}}+(zx)^{\frac{5}{4}})^2\leq (x+y+z)^5
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក។ សមភាពកើតមានពេល x=y=z\Leftrightarrow a=b=c
ករណីពិសេសបើ a^4+b^4+c^4=3 នោះយើងបានៈ
(ab)^5+(bc)^5+(ca)^5\leq 3

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: