210 គណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ

(Darij Grinberg): ស្រាយបញ្ជាក់ថាចំពោះបីចំនួនពិតវិជ្ជមាន a, b, c គេបានៈ
\displaystyle \frac{(a+b)^2}{c^2+ab}+\frac{(b+c)^2}{a^2+bc}+\frac{(c+a)^2}{b^2+ca}\geq 6
សំរាយបញ្ជាក់
យើងមាន (a+b)^2-2(c^2+ab)=a^2-c^2+b^2-c^2=(b^2-c^2)-(c^2-a^2)
ដូចនេះវិសមភាពខាងលើសមមូលនឹងៈ
\displaystyle \frac{(a+b)^2}{c^2+ab}+\frac{(b+c)^2}{a^2+bc}+\frac{(c+a)^2}{b^2+ca}-6\displaystyle =\sum_{sym}\frac{(c^2-a^2)-(a^2-b^2)}{a^2+bc}
\displaystyle =\sum_{sym}(a^2-b^2)(\frac{1}{b^2+ca}-\frac{1}{a^2+bc})
\displaystyle =\sum_{sym}\frac{(a-b)^2(a+b)(a+b-c)}{(a^2+bc)(b^2+ca)}
តាង
S_a=(b+c)(b+c-a)(a^2+bc)
S_a=(c+a)(c+a-b)(b^2+ca)
S_a=(a+b)(a+b-c)(c^2+ab)
ដូចនេះយើងត្រូវស្រាយថាៈ
S_a(b-c)^2+S_b(c-a)^2+S_c(a-b)^2\geq 0
មិនបាត់បង់លក្ខណៈទូទៅនៃលំហាត់ទេ យើងឧបមាថា a\geq b\geq c នោះយើងបាន S_c\geq 0
\displaystyle \frac{(a-c)^2}{(b-c)^2}\geq \frac{a^2}{b^2}
\displaystyle \Rightarrow (a-c)^2S_b+(b-c)^2S_a=(c-b)^2(\frac{(a-c)^2}{(b-c)^2}S_b+S_a)\displaystyle \geq \frac{(c-b)^2}{b^2}(a^2S_b+b^2S_a)
ម្យ៉ាងទៀតយើងមានៈ
\displaystyle a^2S_b+b^2S_a=a^2(a+c)(a+c-b)(b^2+ac)+b^2(b+c)(b+c-a)(a^2+bc)
\geq a(a-b)(a^2(b^2+ac)-b^2(b^2+ac))\geq 0
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ចាក់។ សមភាពកើតមានពេល a=b=c

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: