209 គណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ

(van khea): គេអោយបីចំនួនពិតវិជ្ជមាន a, b, c ផ្ទៀងផ្ទាត់ abc=1 ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ
\displaystyle \frac{a^3}{b^2+c^3}+\frac{b^3}{c^2+a^3}+\frac{c^3}{a^2+b^3}\geq \frac{3}{2}
សំរាយបញ្ជាក់
យើងមានៈ
\displaystyle \frac{a^3}{b^2+c^3}+\frac{b^3}{c^2+a^3}+\frac{c^3}{a^2+b^3}=\frac{(a^2)^2}{ab^2+c^3a}+\frac{(b^2)^2}{bc^2+a^3b}+\frac{(c^2)^2}{ca^2+b^3c}
\displaystyle \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab^2+bc^2+ca^2+a^3b+b^3c+c^3a}
ម្យ៉ាងទៀតតាម លំហាត់ទី 33 vankhea និង លំហាត់ទី 26 Vasile Cirtoaje យើងមានៈ
\displaystyle (a^2+b^2+c^2)^{\frac{3}{2}}\geq \sqrt{3}(ab^2+bc^2+ca^2)
\displaystyle (a^2+b^2+c^2)^2\geq 3(a^3b+b^3c+c^3a)
ដូចនេះយើងបានៈ
\displaystyle \frac{a^3}{b^2+c^3}+\frac{b^3}{c^2+a^3}+\frac{c^3}{a^2+b^3}\geq \frac{3\sqrt{3}(a^2+b^2+c^2)^2}{3(a^2+b^2+c^2)^{\frac{3}{2}}+\sqrt{3}(a^2+b^2+c^2)^2}
\displaystyle \geq \frac{3\sqrt{3}(a^2+b^2+c^2)}{3\sqrt{a^2+b^2+c^2}+\sqrt{3}(a^2+b^2+c^2)}
តាង t^2=a^2+b^2+c^2
ដូចនេះយើងត្រូវស្រាយថាៈ
\displaystyle \frac{3\sqrt{3}t^2}{3t+\sqrt{3}t^2}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow 2\sqrt{3}t^2\geq 3t+\sqrt{3}t^2
\displaystyle \sqrt{3}t^2-3t\geq 0
\displaystyle \Rightarrow t\geq \sqrt{3} ពិតជានិច្ចព្រោះ
t^2=a^2+b^2+c^2\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=3\Rightarrow t\geq \sqrt{3}
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។ សមភាពកើតមានពេល a=b=c=1

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: