203 គណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ

Van Khea: ស្រាយបញ្ជាក់ថាចំពោះបណ្ដាចំនួនវិជ្ជមាន a, b, c គេបានៈ
\displaystyle \frac{1}{a^3\sqrt{a^2+2b^2}}+\frac{1}{b^3\sqrt{b^2+2c^2}}+\frac{1}{c^3\sqrt{c^2+2a^2}}\geq \frac{\sqrt{3}}{abc\sqrt[3]{abc}}
សំរាយបញ្ជាក់
យើងមានៈ
\displaystyle \frac{1}{a^3\sqrt{a^2+2b^2}}+\frac{1}{b^3\sqrt{b^2+2c^2}}+\frac{1}{c^3\sqrt{c^2+2a^2}}\displaystyle =\frac{(\frac{1}{a^2})^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{a^2+2b^2}}+\frac{(\frac{1}{b^2})^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{b^2+2c^2}}+\frac{(\frac{1}{c^2})^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{c^2+2a^2}}
ដោយ \displaystyle \frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1 នោះយើងបានៈ
\displaystyle \frac{(\frac{1}{a^2})^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{a^2+2b^2}}+\frac{(\frac{1}{b^2})^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{b^2+2c^2}}+\frac{(\frac{1}{c^2})^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{c^2+2a^2}}\displaystyle \geq \frac{(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}
ម្យ៉ាងទៀតយើងមានៈ
\displaystyle (\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})^{\frac{3}{2}}=((\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})^2)^{\frac{3}{4}}\displaystyle \geq (3(\frac{1}{a^2b^2}+\frac{1}{b^2c^2}+\frac{1}{c^2a^2}))^{\frac{3}{4}}\displaystyle =\frac{(3(a^2+b^2+c^2))^{\frac{3}{4}}}{(abc)^{\frac{3}{2}}}
\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{a^3\sqrt{a^2+2b^2}}+\frac{1}{b^3\sqrt{b^2+2c^2}}+\frac{1}{c^3\sqrt{c^2+2a^2}}\geq \frac{(3(a^2+b^2+c^2))^{\frac{3}{4}}}{(abc)^{\frac{3}{2}}(3(a^2+b^2+c^2))^{\frac{1}{2}}}\displaystyle =\frac{(3(a^2+b^2+c^2))^{\frac{1}{4}}}{(abc)^{\frac{3}{2}}}
តាមវិសមភាព AM-GM យើងមានៈ \displaystyle a^2+b^2+c^2\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}
\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{a^3\sqrt{a^2+2b^2}}+\frac{1}{b^3\sqrt{b^2+2c^2}}+\frac{1}{c^3\sqrt{c^2+2a^2}}\geq \frac{(3.3\sqrt[3]{a^2b^2c^2})^{\frac{1}{4}}}{(abc)^{\frac{3}{2}}}\displaystyle =\frac{\sqrt{3}}{abc\sqrt[3]{abc}}
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។ សមភាពកើតមានពេល a=b=c

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: