202​ លំហាត់គណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ

(វ៉ាន់ ឃា) ស្រាយបញ្ជាក់ថាចំពោះចំនួនពិតវិជ្ជមាន a, b, c គេបានៈ
\displaystyle \frac{a^3b}{a+b}+\frac{b^3c}{b+c}+\frac{c^3a}{c+a}\geq \frac{3abc}{2}
សំរាយបញ្ជាក់
វិសមភាពខាងលើមិនមានអីស្មុគស្មាញច្រើនទេ យើងចែកអង្គទាំងពីរនឹង abc នោះយើងនឹងបានៈ
\displaystyle \frac{a^2}{c(a+b)}+\frac{b^2}{a(b+c)}+\frac{c^2}{a(c+a)}\geq \frac{3}{2}
តាមវិសមភាព Cauchy-Schwarz យើងមានៈ
\displaystyle \frac{a^2}{c(a+b)}+\frac{b^2}{a(b+c)}+\frac{c^2}{b(c+a)}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}
ម្យ៉ាងទៀតយើងមាន (a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)
ដូចនេះយើងបានៈ
\displaystyle \frac{a^2}{c(a+b)}+\frac{b^2}{a(b+c)}+\frac{c^2}{b(c+a)}\geq \frac{3(ab+bc+ca)}{2(ab+bc+ca)}=\frac{3}{2}
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។ សមភាពកើតមានពេល a=b=c
ករណីមួយផ្សេងទៀតបើយើងតាង \displaystyle a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}
នោះលំហាត់នឹងក្លាយទៅជារាងថ្មីមួយទៀតគឺ
\displaystyle \frac{1}{x^2(x+y)}+\frac{1}{y^2(y+z)}+\frac{1}{z^2(z+x)}\geq \frac{3}{2xyz}
ចំពោះលំហាត់មួយចំនួនទៀតគេអាចប្រើរាងខាងលើអោយទៅជារាងផ្សេងមួយផ្សេងទៀតដែរ ដូចជា
\displaystyle \frac{1}{x^2(x+y)}+\frac{1}{y^2(y+z)}+\frac{1}{z^2(z+x)}\geq \frac{9\sqrt{3}}{2(xy+yz+zx)^{\frac{3}{2}}}
ឬក៏អាចអោយស្រាយថាៈ
\displaystyle \frac{1}{x^2(x+y)}+\frac{1}{y^2(y+z)}+\frac{1}{z^2(z+x)}\geq \frac{9}{2(xy^2+yz^2+zx^2)}
តើយល់នូវអ្វីដែលខ្ញុំកំពុងនិយាយទេ ?

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: