199​ គណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ

(វ៉ាន់ ឃា) ឧបមាថា x, y, z ជាបីចំនួនពិតវិជ្ជមានផ្ទៀងផ្ទាត់ x+y+z=1 ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ

\displaystyle \frac{1}{x^2(1-x)^2}+\frac{1}{y^2(1-y)^2}+\frac{1}{z^2(1-z)^2}\geq \frac{9}{4xyz}
សំរាយបញ្ជាក់
ជាដំបូងយើងត្រូវតាង x=a^2; y=b^2; z=c^2\Rightarrow x+y+z=a^2+b^2+c^2=1
ដូចនេះវិសមភាពខាងលើទៅជាៈ
\displaystyle \frac{1}{a^4(1-a^2)^2}+\frac{1}{b^4(1-b^2)^2}+\frac{1}{c^4(1-c^2)^2}\geq \frac{9}{4a^2b^2c^2}
\displaystyle \Leftrightarrow \frac{1}{a^4(b^2+c^2)^2}+\frac{1}{b^4(c^2+a^2)^2}+\frac{1}{c^4(a^2+b^2)^2}\geq \frac{9}{4a^2b^2c^2}
\displaystyle \Leftrightarrow \frac{a^2b^2}{c^2(a^2+b^2)^2}+\frac{b^2c^2}{a^2(b^2+c^2)^2}+\frac{c^2a^2}{b^2(c^2+a^2)^2}\geq \frac{9}{4(a^2+b^2+c^2)}
ព្រោះ a^2+b^2+c^2=1
តាង \displaystyle u=\frac{ab}{c};v=\frac{bc}{a};w=\frac{ca}{b}\Rightarrow uv+vw+wu=a^2+b^2+c^2=1
ដូចនេះវិសមភាពខាងលើទៅជាៈ
\displaystyle \frac{1}{(u+v)^2}+\frac{1}{(v+w)^2}+\frac{1}{(w+u)^2}\geq \frac{9}{4(uv+vw+wu)}
តាង r=u+v;s=v+w;t=w+u
\Rightarrow 2u=t+r-s; 2v=r+s-t; 2w=s+t-r
\displaystyle \Rightarrow 4(uv+vw+wu)=2rs+2st+2tr-r^2-s^2-t^2
ដូចនេះវិសមភាពខាងលើទៅជាៈ
\displaystyle (2rs+2st+2tr-r^2-s^2-t^2)(\frac{1}{r^2}+\frac{1}{s^2}+\frac{1}{t^2})\geq 9
\displaystyle \Leftrightarrow (\frac{2}{rs}-\frac{1}{t^2})(r-s)^2+ (\frac{2}{st}-\frac{1}{r^2})(s-t)^2+ (\frac{2}{tr}-\frac{1}{s^2})(t-r)^2\geq 0
តាង \displaystyle S_r=\frac{2}{st}-\frac{1}{r^2};S_s=\frac{2}{tr}-\frac{1}{s^2};S_t=\frac{2}{rs}-\frac{1}{t^2}
ដូចនេះវិសមភាពខាងលើសមមូលនឹងៈ
S_r(s-t)^2+S_s(t-r)^2+S_t(r-s)^2\geq 0
មិនបាត់បង់លក្ខណៈទូទៅនៃលំហាត់ទេ យើងឧបមាថា r\geq s\geq t នោះយើងបានៈ S_r\geq 0
តាមវិសមភាព S.O.S យើងគ្រាន់តែបង្ហាញថា s^2S_s+t^2S_t\geq 0 ជាការស្រាច់
យើងមានៈ s^2S_s+t^2S_t=2s^3+2t^3-2rst
s^2S_s+t^2S_t\geq 0\Rightarrow s^3+t^3\geq rst
យើងមាន \displaystyle s^3+t^3\geq \frac{1}{2}(s+t)(s^2+t^2)\geq (s+t)st\geq rst
ព្រោះ s+t=v+w+w+u\geq u+v=r
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។ សមភាពកើតមានពេល \displaystyle x=y=z=\frac{1}{3}

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: