198 គណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ

(វ៉ាន់ ឃា) ស្រាយបញ្ជាក់ថាចំពោះចំនួនវិជ្ជមាន a, b, c; a^2+b^2+c^2=1 គេបានៈ

\displaystyle \frac{1}{a^2b^2-c^2}+\frac{1}{b^2c^2-a^2}+\frac{1}{c^2a^2-b^2}\leq \frac{27}{2}

សំរាយបញ្ជាក់
វិសមភាពខាងលើសមមូលនឹងៈ
\displaystyle \frac{1}{a^2-b^2c^2}+\frac{1}{b^2-c^2a^2}+\frac{1}{c^2-a^2b^2}\geq \frac{27}{2}
យើងនឹងស្រាយថាៈ
\displaystyle \frac{1}{a^2-b^2c^2}+\frac{1}{b^2-c^2a^2}+\frac{1}{c^2-a^2b^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2abc}
តាមសម្មតិកម្មយើងមាន a^2+b^2+c^2=1 \displaystyle \Leftrightarrow \frac{ab}{c}.\frac{ca}{b}+\frac{bc}{a}.\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}.\frac{bc}{a}=1
តាង \displaystyle x=\frac{ab}{c}; y=\frac{bc}{a}; z=\frac{ca}{b}\Rightarrow xy+yz+zx=1
ម្យ៉ាងទៀតយើងមានៈ
\displaystyle \frac{abc}{a^2-b^2c^2}+\frac{abc}{b^2-c^2a^2}+\frac{abc}{c^2-a^2b^2}=\displaystyle \frac{\frac{ab}{c}}{1-(\frac{ab}{c})^2}+\frac{\frac{bc}{a}}{1-(\frac{bc}{a})^2}+\frac{\frac{ca}{b}}{1-(\frac{ca}{b})^2}\displaystyle =\frac{x}{1-x^2}+\frac{y}{1-y^2}+\frac{z}{1-z^2}
ដូចនេះយើងត្រូវស្រាយថា \displaystyle S=\frac{x}{1-x^2}+\frac{y}{1-y^2}+\frac{z}{1-z^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2} ជាមួយលក្ខខណ្ឌ xy+yz+zx=1
តាង \displaystyle x=tg\frac{\alpha}{2}; y=tg\frac{\beta}{2}; z=tg\frac{\gamma}{2} ; \alpha , \beta , \gamma \in (0, \pi)
តាមរយៈសម្មតិកម្ម xy+yz+zx=1 យើងទាញបានៈ \alpha +\beta +\gamma =\pi ដូចនេះយើងទាញបាន \alpha , \beta , \gamma \in (0, \pi) ជារង្វាស់មុំនៃត្រីកោណមួយ។
\displaystyle \Rightarrow tg\alpha +tg\beta +tg\gamma =tg\alpha tg\beta tg\gamma
ម្យ៉ាងទៀតយើងមានៈ
\displaystyle 2S=\frac{2x}{1-x^2}+\frac{2y}{1-y^2}+\frac{2z}{1-z^2}=tg\alpha +tg\beta +tg\gamma =tg\alpha tg\beta tg\gamma
\displaystyle 2S\geq 3\sqrt[3]{\frac{2x}{1-x^2}.\frac{2y}{1-y^2}.\frac{2z}{1-z^2}}=3\sqrt[3]{\frac{2x}{1-x^2}+\frac{2y}{1-y^2}+\frac{2z}{1-z^2}}=3\sqrt[3]{2S}
\displaystyle \Rightarrow S\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។ សមភាពកើតមានពេល \displaystyle \alpha =\beta =\gamma \Leftrightarrow x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}
ដូចនេះយើងទាញបានថា \displaystyle \frac{abc}{a^2-b^2c^2}+\frac{abc}{b^2-c^2a^2}+\frac{abc}{c^2-a^2b^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}
\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{a^2-b^2c^2}+\frac{1}{b^2-c^2a^2}+\frac{1}{c^2-a^2b^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2abc}
តាមវិមសភាព AM-GM យើងមានៈ
\displaystyle abc=\sqrt{a^2b^2c^2}\leq \sqrt{(\frac{a^2+b^2+c^2}{3})^3}=\frac{1}{3\sqrt{3}}
\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{abc}\geq 3\sqrt{3}
\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{a^2-b^2c^2}+\frac{1}{b^2-c^2a^2}+\frac{1}{c^2-a^2b^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}.3\sqrt{3}=\frac{27}{2}
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។ សមភាពកើតមានពេល \displaystyle a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: