197 គណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ

(វ៉ាន់ ឃា) ស្រាយបញ្ជាក់ថាចំពោះចំនួនវិជ្ជមាន a, b, c គេបានៈ

\displaystyle \frac{a^3}{b^2+c^2}+\frac{b^3}{c^2+a^2}+\frac{c^3}{a^2+b^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}.\sqrt{a^2+b^2+c^2}
សំរាយបញ្ជាក់
វិសមភាពខាងលើសមមូលនឹងៈ
\displaystyle \frac{(a^2)^2}{ab^2+c^2a}+\frac{(b^2)^2}{bc^2+a^2b}+\frac{(c^2)^2}{ca^2+b^2c}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}.\sqrt{a^2+b^2+c^2}
យើងមានៈ
\displaystyle \frac{(a^2)^2}{ab^2+c^2a}+\frac{(b^2)^2}{bc^2+a^2b}+\frac{(c^2)^2}{ca^2+b^2c}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab^2+bc^2+ca^2+a^2b+b^2c+c^2a}
ឥឡូវយើងត្រូវស្រាយថាៈ \displaystyle (a^2+b^2+c^2)^{\frac{3}{2}}\geq \sqrt{3}(ab^2+bc^2+ca^2) និង \displaystyle (a^2+b^2+c^2)^{\frac{3}{2}}\geq \sqrt{3}(a^2b+b^2c+c^2a)
មានលំនាំដូចគ្នាចំពោះវិសមភាពដែលត្រូវស្រាយបញ្ជាក់ខាងលើ។ ហេតុនេះយើងជ្រើសរើសមួយមកស្រាយជាគំរូ។
យើងនឹងស្រាយថាៈ \displaystyle (a^2+b^2+c^2)^{\frac{3}{2}}\geq \sqrt{3}(ab^2+bc^2+ca^2)
តាង a=\sqrt{x} ; b=\sqrt{y}; c=\sqrt{z} នោះយើងបានៈ
\displaystyle (x+y+z)^{\frac{3}{2}}\geq \sqrt{3}(\sqrt{x}y+\sqrt{y}z+\sqrt{z}x)
តាង f(t)=\sqrt{t} តាមវិសមភាព​ Jensen យើងបានៈ
\displaystyle yf(x)+zf(y)+xf(z)\leq (x+y+z)f\biggl(\frac{xy+yz+zx}{x+y+z}\biggl)
\displaystyle \Leftrightarrow \sqrt{x}y+\sqrt{y}z+\sqrt{z}x\leq \sqrt{(x+y+z)(xy+yz+zx)}
តែយើងមាន \displaystyle xy+yz+zx\leq \frac{1}{3}(x+y+z)^2 នោះយើងបានៈ
\displaystyle \sqrt{x}y+\sqrt{y}z+\sqrt{z}x\leq \frac{1}{\sqrt{3}}(x+y+z)^{\frac{3}{2}}
\displaystyle \Leftrightarrow \sqrt{3}(\sqrt{x}y+\sqrt{y}z+\sqrt{z}x)\leq (x+y+z)^{\frac{3}{2}} ពិត។
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់ ។ សមភាពកើតមានពេល a=b=c
លំនាំដូចគ្នាយើងបានៈ \displaystyle (a^2+b^2+c^2)^{\frac{3}{2}}\geq \sqrt{3}(a^2b+b^2c+c^2a)
ដូចនេះយើងបានៈ
\displaystyle 2(a^2+b^2+c^2)^{\frac{3}{2}}\geq \sqrt{3}(ab^2+bc^2+ca^2+a^2b+b^2c+c^2a)
\displaystyle \Rightarrow \frac{a^3}{b^2+c^2}+\frac{b^3}{c^2+a^2}+\frac{c^3}{a^2+b^2}\geq \frac{\sqrt{3}(a^2+b^2+c^2)^2}{2(a^2+b^2+c^2)^{\frac{3}{2}}}
\displaystyle \Rightarrow \frac{a^3}{b^2+c^2}+\frac{b^3}{c^2+a^2}+\frac{c^3}{a^2+b^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}.\sqrt{a^2+b^2+c^2}
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។ សមភាពកើតមានពេល a=b=c

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: