វិសមភាព S.O.S

ពាក្យសរសេរកាត់ SOS គឺបានមកពីពាក្យពេញនៃភាសាអង់គ្លេសថា Sum Of Square

វិសមភាពនេះត្រូវបានចែងដូចខាងក្រោមៈ

ចំពោះចំនួនពិតវិជ្ជមាន a, b, c គេបានៈ

\displaystyle S=S_a(b-c)^2+S_b(c-a)^2+S_c(a-b)^2\geq 0

1/ បើ S_a; S_b; S_c\geq 0\Rightarrow S\geq 0

2/ បើ a\geq b\geq c\& S_b; S_a+S_b+S_c\geq 0\Rightarrow S\geq 0

3/ បើ a\geq b\geq c\& S_a, S_c; S_a+2S_c, S_c+2S_b\geq 0\Rightarrow S\geq 0

4/ បើ a\geq b\geq c\&S_b, S_c\geq 0; a^2S_b+b^2S_a\geq 0\Rightarrow S\geq 0

5/ បើ S_a+S_b+S_c\geq 0\& S_aS_b+S_bS_c+S_cS_a\geq 0\Rightarrow S\geq 0

ខូចចិត្តព្រោះ scribd.com

ដោយសារឃើញវែបសាយថ៍ Scribd.com នឹងអាចប្រើប្រាស់ដោយអាប់ឡូដឯកសារនានាចូលបាន ខំប្រឹងអាប់ឡូដឯកសារមួយចំនួនធំ

ដល់ពេលឥឡូវស្រាប់តែ scribd.com ត្រូវបានបិទភឹង។ ឯកសារខ្ញុំដែលនៅលើផ្ទាំងអ៊ីធឺណេតក៏ត្រូវចប់ភឹងទៅតាម scribd. com ដែរ

មិនហ៊ានទុកឯកសារក្នុងកុំព្យួទ័រទេ ខ្លាចវាច្រើនពេកស៊ីស្ប៉េសច្រើន ខ្លាចកុំព្យូទ័រដើរយឺត លេងហ្គេមមិនកើតខំប្រឹងសរសេរឯកសារទាំងនោះ

យកទៅអាប់ឡូដចូល scribd.com អាឡូវស្រាលទាំងកុំព្យួទ័រ ស្រាលទាំងខ្លូនទៀត។ បើដឹងថាវែបសាយថ៍មួយនឹងចឹងខ្ញុំមិនខ្ចីយកឯកសារ

ខ្ញុំទៅប្រថុយអោយបាត់បង់អស់អាលីងចឹងសោះ។

នៅសល់តែកូដក្នុង scribd.com តែមិនដឹងថាត្រូវធ្វើម៉េចទើបអាចបំលែងវាអោយទៅជាឯកសារ ហើយទាញយកមកវិញបានសោះ។ ខូចចិត្ត

អង្គុយរអ៊ូតែម្នាក់ឯង ដូចមនុស្សស្ទើរ 😀

203 គណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ

Van Khea: ស្រាយបញ្ជាក់ថាចំពោះបណ្ដាចំនួនវិជ្ជមាន a, b, c គេបានៈ
\displaystyle \frac{1}{a^3\sqrt{a^2+2b^2}}+\frac{1}{b^3\sqrt{b^2+2c^2}}+\frac{1}{c^3\sqrt{c^2+2a^2}}\geq \frac{\sqrt{3}}{abc\sqrt[3]{abc}}
សំរាយបញ្ជាក់
យើងមានៈ
\displaystyle \frac{1}{a^3\sqrt{a^2+2b^2}}+\frac{1}{b^3\sqrt{b^2+2c^2}}+\frac{1}{c^3\sqrt{c^2+2a^2}}\displaystyle =\frac{(\frac{1}{a^2})^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{a^2+2b^2}}+\frac{(\frac{1}{b^2})^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{b^2+2c^2}}+\frac{(\frac{1}{c^2})^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{c^2+2a^2}}
ដោយ \displaystyle \frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1 នោះយើងបានៈ
\displaystyle \frac{(\frac{1}{a^2})^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{a^2+2b^2}}+\frac{(\frac{1}{b^2})^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{b^2+2c^2}}+\frac{(\frac{1}{c^2})^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{c^2+2a^2}}\displaystyle \geq \frac{(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}
ម្យ៉ាងទៀតយើងមានៈ
\displaystyle (\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})^{\frac{3}{2}}=((\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})^2)^{\frac{3}{4}}\displaystyle \geq (3(\frac{1}{a^2b^2}+\frac{1}{b^2c^2}+\frac{1}{c^2a^2}))^{\frac{3}{4}}\displaystyle =\frac{(3(a^2+b^2+c^2))^{\frac{3}{4}}}{(abc)^{\frac{3}{2}}}
\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{a^3\sqrt{a^2+2b^2}}+\frac{1}{b^3\sqrt{b^2+2c^2}}+\frac{1}{c^3\sqrt{c^2+2a^2}}\geq \frac{(3(a^2+b^2+c^2))^{\frac{3}{4}}}{(abc)^{\frac{3}{2}}(3(a^2+b^2+c^2))^{\frac{1}{2}}}\displaystyle =\frac{(3(a^2+b^2+c^2))^{\frac{1}{4}}}{(abc)^{\frac{3}{2}}}
តាមវិសមភាព AM-GM យើងមានៈ \displaystyle a^2+b^2+c^2\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}
\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{a^3\sqrt{a^2+2b^2}}+\frac{1}{b^3\sqrt{b^2+2c^2}}+\frac{1}{c^3\sqrt{c^2+2a^2}}\geq \frac{(3.3\sqrt[3]{a^2b^2c^2})^{\frac{1}{4}}}{(abc)^{\frac{3}{2}}}\displaystyle =\frac{\sqrt{3}}{abc\sqrt[3]{abc}}
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។ សមភាពកើតមានពេល a=b=c

202​ លំហាត់គណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ

(វ៉ាន់ ឃា) ស្រាយបញ្ជាក់ថាចំពោះចំនួនពិតវិជ្ជមាន a, b, c គេបានៈ
\displaystyle \frac{a^3b}{a+b}+\frac{b^3c}{b+c}+\frac{c^3a}{c+a}\geq \frac{3abc}{2}
សំរាយបញ្ជាក់
វិសមភាពខាងលើមិនមានអីស្មុគស្មាញច្រើនទេ យើងចែកអង្គទាំងពីរនឹង abc នោះយើងនឹងបានៈ
\displaystyle \frac{a^2}{c(a+b)}+\frac{b^2}{a(b+c)}+\frac{c^2}{a(c+a)}\geq \frac{3}{2}
តាមវិសមភាព Cauchy-Schwarz យើងមានៈ
\displaystyle \frac{a^2}{c(a+b)}+\frac{b^2}{a(b+c)}+\frac{c^2}{b(c+a)}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}
ម្យ៉ាងទៀតយើងមាន (a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)
ដូចនេះយើងបានៈ
\displaystyle \frac{a^2}{c(a+b)}+\frac{b^2}{a(b+c)}+\frac{c^2}{b(c+a)}\geq \frac{3(ab+bc+ca)}{2(ab+bc+ca)}=\frac{3}{2}
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។ សមភាពកើតមានពេល a=b=c
ករណីមួយផ្សេងទៀតបើយើងតាង \displaystyle a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}
នោះលំហាត់នឹងក្លាយទៅជារាងថ្មីមួយទៀតគឺ
\displaystyle \frac{1}{x^2(x+y)}+\frac{1}{y^2(y+z)}+\frac{1}{z^2(z+x)}\geq \frac{3}{2xyz}
ចំពោះលំហាត់មួយចំនួនទៀតគេអាចប្រើរាងខាងលើអោយទៅជារាងផ្សេងមួយផ្សេងទៀតដែរ ដូចជា
\displaystyle \frac{1}{x^2(x+y)}+\frac{1}{y^2(y+z)}+\frac{1}{z^2(z+x)}\geq \frac{9\sqrt{3}}{2(xy+yz+zx)^{\frac{3}{2}}}
ឬក៏អាចអោយស្រាយថាៈ
\displaystyle \frac{1}{x^2(x+y)}+\frac{1}{y^2(y+z)}+\frac{1}{z^2(z+x)}\geq \frac{9}{2(xy^2+yz^2+zx^2)}
តើយល់នូវអ្វីដែលខ្ញុំកំពុងនិយាយទេ ?

201 លំហាត់សំរាប់សិស្សពូកែ

(វ៉ាន់ ឃា) គេអោយ a, b, c ជារង្វាស់ជ្រុងនៃត្រីកោណមួយ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ
\displaystyle \frac{\sqrt{a+b-c}}{c}+\frac{\sqrt{b+c-a}}{a}+\frac{\sqrt{c+a-b}}{b}\geq \frac{3\sqrt{3(a+b+c)}}{a+b+c}
សំរាយបញ្ជាក់
ជាដំបូងយើងត្រូវតាង x=\sqrt{a+b-c};y=\sqrt{b+c-a};z=\sqrt{c+a-b}
សមមូលនឹងៈ
x^2=a+b-c;y^2=b+c-a;z^2=c+a-b
\Rightarrow 2a=z^2+x^2;2b=x^2+y^2;2c=y^2+z^2\&a+b+c=x^2+y^2+z^2
ដូចនេះវិសមភាពខាងលើសមមូលនឹងៈ
\displaystyle \frac{x}{y^2+z^2}+\frac{y}{z^2+x^2}+\frac{z}{x^2+y^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2}}
ម្យ៉ាងទៀតយើងមានៈ
\displaystyle \frac{x}{y^2+z^2}+\frac{y}{z^2+x^2}+\frac{z}{x^2+y^2}\displaystyle =\frac{(x^2)^2}{x^3y^2+z^2x^3}+\frac{(y^2)^2}{y^3z^2+x^2y^3}+\frac{(z^2)^2}{z^3x^2+y^2z^3}
\displaystyle \geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x^2y^3+y^2z^3+z^2x^3+x^2y^3+y^2z^3+z^2x^3}
ឥឡូវយើងត្រូវស្រាយថា \displaystyle (x^2+y^2+z^2)^{\frac{5}{2}}\geq 3\sqrt{3}(x^2y^3+y^2z^3+z^2x^3) និងស្រាយថា \displaystyle (x^2+y^2+z^2)^{\frac{5}{2}}\geq 3\sqrt{3}(x^3y^2+y^3z^2+z^3x^2)
តាមលំហាត់ 32 van khea នោះពីរវិសមភាពខាងលើផ្ទៀងផ្ទាត់ជានិច្ច។
ដូចនេះយើងបានៈ
\displaystyle x^2y^3+y^2z^3+z^2x^3+x^2y^3+y^2z^3+z^2x^3\leq \frac{2(x^2+y^2+z^2)^{\frac{5}{2}}}{3\sqrt{3}}
\displaystyle \Rightarrow \frac{x}{y^2+z^2}+\frac{y}{z^2+x^2}+\frac{z}{x^2+y^2}\displaystyle \geq \frac{3\sqrt{3}(x^2+y^2+z^2)^2}{2(x^2+y^2+z^2)^{\frac{5}{2}}}=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2}}
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។ សមភាពកើតមានពេល a=b=c

200 គណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ

ស្រាយបញ្ចាក់ថាចំពោះចំនួនពិតវិជ្ជមាន a, b, c គេបានៈ

\displaystyle \frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}{b(b+c)}+\frac{1}{c(c+a)}\geq \frac{9}{2(ab+bc+ca)}

សំរាយបញ្ជាក់

តាង \displaystyle a=\frac{xy}{z}; b=\frac{yz}{x}; c=\frac{zx}{y}\Rightarrow ab+bc+ca=x^2+y^2+z^2

ដូចនេះវិសមភាពខាងលើសមមូលនឹងៈ

\displaystyle \frac{x^2}{y^2(z^2+x^2)}+\frac{y^2}{z^2(x^2+y^2)}+\frac{z^2}{x^2(y^2+z^2)}\geq \frac{9}{2(x^2+b^2+z^2)}

តាមវិសមភាព AM-GM យើងមានៈ

\displaystyle \frac{x^2}{y^2(z^2+x^2)}+\frac{y^2}{z^2(x^2+y^2)}+\frac{z^2}{x^2(y^2+z^2)}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{(x^2+y^2)(y^2+z^2)(z^2+x^2)}}\displaystyle \geq \frac{9}{2(x^2+y^2+z^2)}

ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។ សមភាពកើតមានពេល x=y=z\Leftrightarrow a=b=c

199​ គណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ

(វ៉ាន់ ឃា) ឧបមាថា x, y, z ជាបីចំនួនពិតវិជ្ជមានផ្ទៀងផ្ទាត់ x+y+z=1 ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ

\displaystyle \frac{1}{x^2(1-x)^2}+\frac{1}{y^2(1-y)^2}+\frac{1}{z^2(1-z)^2}\geq \frac{9}{4xyz}
សំរាយបញ្ជាក់
ជាដំបូងយើងត្រូវតាង x=a^2; y=b^2; z=c^2\Rightarrow x+y+z=a^2+b^2+c^2=1
ដូចនេះវិសមភាពខាងលើទៅជាៈ
\displaystyle \frac{1}{a^4(1-a^2)^2}+\frac{1}{b^4(1-b^2)^2}+\frac{1}{c^4(1-c^2)^2}\geq \frac{9}{4a^2b^2c^2}
\displaystyle \Leftrightarrow \frac{1}{a^4(b^2+c^2)^2}+\frac{1}{b^4(c^2+a^2)^2}+\frac{1}{c^4(a^2+b^2)^2}\geq \frac{9}{4a^2b^2c^2}
\displaystyle \Leftrightarrow \frac{a^2b^2}{c^2(a^2+b^2)^2}+\frac{b^2c^2}{a^2(b^2+c^2)^2}+\frac{c^2a^2}{b^2(c^2+a^2)^2}\geq \frac{9}{4(a^2+b^2+c^2)}
ព្រោះ a^2+b^2+c^2=1
តាង \displaystyle u=\frac{ab}{c};v=\frac{bc}{a};w=\frac{ca}{b}\Rightarrow uv+vw+wu=a^2+b^2+c^2=1
ដូចនេះវិសមភាពខាងលើទៅជាៈ
\displaystyle \frac{1}{(u+v)^2}+\frac{1}{(v+w)^2}+\frac{1}{(w+u)^2}\geq \frac{9}{4(uv+vw+wu)}
តាង r=u+v;s=v+w;t=w+u
\Rightarrow 2u=t+r-s; 2v=r+s-t; 2w=s+t-r
\displaystyle \Rightarrow 4(uv+vw+wu)=2rs+2st+2tr-r^2-s^2-t^2
ដូចនេះវិសមភាពខាងលើទៅជាៈ
\displaystyle (2rs+2st+2tr-r^2-s^2-t^2)(\frac{1}{r^2}+\frac{1}{s^2}+\frac{1}{t^2})\geq 9
\displaystyle \Leftrightarrow (\frac{2}{rs}-\frac{1}{t^2})(r-s)^2+ (\frac{2}{st}-\frac{1}{r^2})(s-t)^2+ (\frac{2}{tr}-\frac{1}{s^2})(t-r)^2\geq 0
តាង \displaystyle S_r=\frac{2}{st}-\frac{1}{r^2};S_s=\frac{2}{tr}-\frac{1}{s^2};S_t=\frac{2}{rs}-\frac{1}{t^2}
ដូចនេះវិសមភាពខាងលើសមមូលនឹងៈ
S_r(s-t)^2+S_s(t-r)^2+S_t(r-s)^2\geq 0
មិនបាត់បង់លក្ខណៈទូទៅនៃលំហាត់ទេ យើងឧបមាថា r\geq s\geq t នោះយើងបានៈ S_r\geq 0
តាមវិសមភាព S.O.S យើងគ្រាន់តែបង្ហាញថា s^2S_s+t^2S_t\geq 0 ជាការស្រាច់
យើងមានៈ s^2S_s+t^2S_t=2s^3+2t^3-2rst
s^2S_s+t^2S_t\geq 0\Rightarrow s^3+t^3\geq rst
យើងមាន \displaystyle s^3+t^3\geq \frac{1}{2}(s+t)(s^2+t^2)\geq (s+t)st\geq rst
ព្រោះ s+t=v+w+w+u\geq u+v=r
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។ សមភាពកើតមានពេល \displaystyle x=y=z=\frac{1}{3}