លំហាត់គណិតវិទ្យា(សំរាប់សិស្សពូកែ)

គេអោយបីចំនួនពិតវិជ្ជមានមិនសូន្យ a, b, c ដែល ab+bc+ca=\sqrt{abc} ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ

\displaystyle \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{27}{2}

ចំលើយ
យើងមានពីររបៀបសំរាប់ស្រាយបញ្ជាក់វិសមភាពខាងលើ។
របៀបទី 1
តាង \displaystyle a=\frac{xy}{z}; b=\frac{yz}{x} ; c=\frac{zx}{y}
\displaystyle ab+bc+ca=x^2+y^2+z^2\& abc=xyz
តាមសម្មតិកម្មយើងមាន ab+bc+ca=\sqrt{abc}\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=\sqrt{xyz}
យើងជំនួសតំលៃ a, b, c ចូលក្នុងវិសមភាពខាងលើយើងបានៈ
\displaystyle \frac{xy}{(x^2+y^2)z}+\frac{yz}{(y^2+z^2)x}+\frac{zx}{(z^2+x^2)y}\geq \frac{27}{2}
\displaystyle \Leftrightarrow \frac{xyz}{(x^2+y^2)z^2}+\frac{xyz}{(y^2+z^2)x^2}+\frac{xyz}{(z^2+x^2)y^2}\geq \frac{27}{2}
តាមវិសមភាព Cauchy – Schwarz យើងមានៈ
\displaystyle \frac{1}{(x^2+y^2)z^2}+\frac{1}{(y^2+z^2)x^2}+\frac{1}{(z^2+x^2)y^2}\geq \frac{9}{2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)}
ម្យ៉ាងទៀតចំពោះចំនួនវិជ្ជមាន x, y, z យើងមានៈ
\displaystyle x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\leq \frac{1}{3}(x^2+y^2+z^2)^2
\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{(x^2+y^2)z^2}+\frac{1}{(y^2+z^2)x^2}+\frac{1}{(z^2+x^2)y^2}\geq \frac{27}{2(x^2+y^2+z^2)^2}
\displaystyle \Rightarrow \frac{xyz}{(x^2+y^2)z^2}+\frac{xyz}{(y^2+z^2)x^2}+\frac{xyz}{(z^2+x^2)y^2}\geq \frac{27xyz}{2(x^2+y^2+z^2)^2}\displaystyle =\frac{27xyz}{2(\sqrt{xyz})^2}=\frac{27}{2}
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។ សមភាពកើតមានពេល \displaystyle  x=y=z=\frac{1}{9}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{9}

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: