បីរបៀបសំរាប់ស្រាយបញ្ជាក់វិសមភាពកូស៊ី

គេអោយ a, b, c, x, y, z ជាបណ្ដាចំនួនពិតវិជ្ជមានផ្ទៀងផ្ទាត់ a+b+c=1 ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ

ax+by+cz\geq x^ay^bz^c

ជាការពិតណាស់សំរាប់អ្នកនិពន្ទឬអ្នករៀបរៀងក៏ដូចជាអ្នកស្រាវជ្រាវទាំងឡាយសុទ្ធតែស្រាយវិសមភាពខាងលើដោយពឹងផ្អែកលើ

វិសមភាព Jensen ។ ថ្ងៃនេះអ្នកនឹងបានឃើញពីររៀបបន្ថែមទៀតសំរាប់ស្រាយវិសមភាពខាងលើ។ ហើយពីររបៀបនោះប្រហែល

ជាវិធីថ្មីសំរាប់មិត្តអ្នកស្រាវជ្រាវហើយ😀

ឥឡូវខ្ញុំនឹងស្រាយបញ្ជាក់ថាតើយើងនឹងស្រាយវាដោយវិធីណាខ្លះ

របៀបទី 1 ប្រើវិសមភាព Jensen

តាង f(t)=lnt ; t>0
\displaystyle f'(t)=\frac{1}{t}
\displaystyle f''(t)=-\frac{1}{t^2}<0
តាមវិសមភាព Jensen ចំពោះបណ្ដាចំនួនវិជ្ជមាន a, b, c, x, y, z ដែល a+b+c=1 គេបានៈ
af(x)+bf(y)+cf(z)\leq f(ax+by+cz)
\Leftrightarrow alnx+blny+clnz\leq ln(ax+by+cz)
\Rightarrow ln(x^ay^bz^c)\leq ln(ax+by+cz)
\Rightarrow ax+by+cz\geq x^ay^bz^c

របៀបទី 2 ប្រើវិសមភាព 2011.1 វ៉ាន់ ឃា

តាមសម្មតិកម្មយើងមាន a+b+c=1\Rightarrow 2-a-b-c=1
តាមវិសមភាព 2011.1 វ៉ាន់ ឃា ចំពោះចំនួនវិជ្ជមាន x, y, z គេបានៈ
\displaystyle \frac{(ax+by+cz)^2}{x^ay^bz^c}\geq 2(ax+by+cz)-ax-by-cz
\displaystyle \Leftrightarrow \frac{(ax+by+cz)^2}{x^ay^bz^c}\geq ax+by+cz
\displaystyle \Rightarrow ax+by+cz\geq x^ay^bz^c

របៀបទី 3 ប្រើវិសមភាព 02 វ៉ាន់​ ឃា

ដោយ \displaystyle a+b+c=1\Rightarrow \frac{a}{1-c}+\frac{b}{1-c}=1
ឧបមាថា x\leq y នោះយើងបានៈ \displaystyle x\leq \frac{a}{1-c}x+\frac{b}{1-c}y\leq y
តាមវិសមភាព 02 វ៉ាន់ ឃា ចំពោះចំនួនវិជ្ជមាន \displaystyle x\leq \frac{a}{1-c}x+\frac{b}{1-c}y\leq y គេបានៈ
\displaystyle \biggl(\frac{a}{1-c}x+\frac{b}{1-c}y\biggl)^{y-x}\geq x^{y-\frac{a}{1-c}x-\frac{b}{1-c}y}.y^{\frac{a}{1-c}x+\frac{b}{1-c}y-x}
\displaystyle \Leftrightarrow \biggl(\frac{a}{1-c}x+\frac{b}{1-c}y\biggl)^{y-x}\geq (x^ay^b)^{\frac{y-x}{1-c}}
\displaystyle \Rightarrow ax+by\geq (1-c)(x^ay^b)^{\frac{1}{1-c}}
\displaystyle \Rightarrow ax+by+cz\geq (1-c)(x^ay^b)^{\frac{1}{1-c}}+cz
ម្យ៉ាងទៀតយើងមាន 1-c+c=1
មិនបាត់លក្ខណៈទូទៅនៃលំហាត់ទេ យើងឧបមាថា \displaystyle (x^ay^b)^{\frac{1}{1-c}}\leq z នោះយើងបានៈ
\displaystyle (x^ay^b)^{\frac{1}{1-c}}\leq (1-c)(x^ay^b)^{\frac{1}{1-c}}+cz\leq z
អនុវត្តន៍វិសមភាព 02 ម្ដងទៀតយើងបានៈ
\displaystyle (1-c)(x^ay^b)^{\frac{1}{1-c}}+cz\geq x^ay^bz^c
\displaystyle \Rightarrow ax+by+cz\geq x^ay^bz^c
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។ សមភាពកើតមានពេល x=y=z

6 Responses to បីរបៀបសំរាប់ស្រាយបញ្ជាក់វិសមភាពកូស៊ី

  1. rainymathboy និយាយថា ៖

    គួរ​ហៅ​វា​ថា Weighted AM-GM

  2. khea និយាយថា ៖

    ខ្ញុំអត់ចេះភាសាអង់គ្លេសផង មានតែហៅថាភាសាខ្មែរម៉ងទៅ

    • rainymathboy និយាយថា ៖

      តែ​AM-GM (Cauchy) និង Weighted AM-GM នៅ​តែ​ជា​របស់​ពីរ​ផ្សេង​គ្នា។ លោកគ្រូ​ លឹម​ សុវណ្ណវិចិត្រ​ បាន​ហៅ​វា​ថា វិសមភាពមធ្យម​នព្វន្ត​មធ្យម​ធរណីមាត្យ​ផ្សំមេគុណ ដូច្នេះ បើ​យើង​ហៅ​វា​ថា កូស៊ី​ផ្សំ​មេគុណ​ ក្រែង​ទំនង​ជាង ជា​ជាង​កុំ​ឲ្យ​អ្នក​ផ្សេង​វង្វេង។

  3. khea និយាយថា ៖

    បើតាមខ្ញុំគិតវិញ ចំពោះរាងរបស់វាទាំងពីរគឺដូចតែគ្នានឹង ព្រោះអីគេច្រើនហៅវិសមភាពខាងលើថាជាករណីទូទៅ ហើយចំពោះ
    វិសមភាពកូស៊ីឬក៏ am-gm នឹងក៏ដូចតែគ្នាដែរនឹងព្រោះអីវាគ្រាន់តែជាលក្ខណៈពិសេសមួយ នៃករណីទូទៅ។

  4. dengyengmathsru និយាយថា ៖

    ខ្ញុំទើបតែឃើញ ប្រហែលមិនទាន់យល់ហើយមើលទៅ ចាំមើលសិន ….

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: