លំហាត់វិសមភាព (អនុវត្តន៍វិសមភាព Schur)

(van khea) ឧបមាថា a, b, c ជាបណ្ដាចំនួនវិជ្ជមានផ្ទៀងផ្ទាត់ ab+bc+ca=1 ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ
\displaystyle \frac{a}{\sqrt[3]{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt[3]{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt[3]{1+c^2}}\leq \sqrt[3]{\frac{9}{4}(a+b+c)}
ចំលើយ
ដោយ ab+bc+ca=1 នោះវិសមភាពខាងលើសមមូលនឹងៈ
\displaystyle \frac{a}{\sqrt[3]{ab+bc+ca+a^2}}+\frac{b}{\sqrt[3]{ab+bc+ca+b^2}}+\frac{c}{\sqrt[3]{ab+bc+ca+c^2}}\displaystyle \leq \sqrt[3]{\frac{9}{4}(a+b+c)}
\displaystyle \Leftrightarrow \frac{a}{\sqrt[3]{(a+b)(c+a)}}+\frac{b}{\sqrt[3]{(b+c)(a+b)}}+\frac{c}{\sqrt[3]{(c+a)(b+c)}}\displaystyle \leq \sqrt[3]{\frac{9}{4}(a+b+c)}
\displaystyle \Leftrightarrow \frac{2a}{\sqrt[3]{(a+b)(c+a)}}+\frac{2b}{\sqrt[3]{(b+c)(a+b)}}+\frac{2c}{\sqrt[3]{(c+a)(b+c)}}\displaystyle \leq 2\sqrt[3]{\frac{9}{4}(a+b+c)}
យើងតាង x=\sqrt[3]{a+b}; y=\sqrt[3]{b+c}; z=\sqrt[3]{c+a}
យើងបានៈ
2a=z^3+x^3-y^3; 2b=x^3+y^3-z^3 ; 2c=y^3+z^3-x^3
ដូចនេះយើងត្រូវស្រាយថាៈ
\displaystyle \frac{z^3+x^3-y^3}{zx}+\frac{x^3+y^3-z^3 }{xy}+\frac{y^3+z^3-x^3}{yz}\leq 2\sqrt[3]{\frac{9}{4}(a+b+c)}
យើងនឹងស្រាយថាៈ
\displaystyle \frac{z^3+x^3-y^3}{zx}+\frac{x^3+y^3-z^3 }{xy}+\frac{y^3+z^3-x^3}{yz}\leq x+y+z
\displaystyle \Leftrightarrow x(y^3+z^3-x^3)+y(z^3+x^3-y^3)+z(x^3+y^3-z^3)\leq xyz(x+y+z)
\Leftrightarrow xy(x^2+y^2)+yz(y^2+z^2)+zx(z^2+x^2)\leq x^4+y^4+z^4+xyz(x+y+z)
តាម វិសមភាព Schur យើងបានវិសមភាពខាងលើពិតជានិច្ច។
ដូចនេះយើងបានៈ
\displaystyle \frac{z^3+x^3-y^3}{zx}+\frac{x^3+y^3-z^3 }{xy}+\frac{y^3+z^3-x^3}{yz}\leq x+y+z
តែ x+y+z=\sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{b+c}+\sqrt[3]{c+a}
\displaystyle \Leftrightarrow x+y+z\leq 3\sqrt[3]{\frac{2}{3}(a+b+c)}=2\sqrt[3]{\frac{9}{4}(a+b+c)}
\displaystyle \Rightarrow \frac{z^3+x^3-y^3}{zx}+\frac{x^3+y^3-z^3 }{xy}+\frac{y^3+z^3-x^3}{yz}\leq 2\sqrt[3]{\frac{9}{4}(a+b+c)} ពិត ។
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់ ។ សមភាពកើតមានពេល \displaystyle a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}

ជូនពរការស្រាវជ្រាវរបស់មិត្តអ្នកសិក្សាទទួលបានជោគជ័យ ពីខ្ញុំ វ៉ាន់ ឃា😀

 

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: