លំហាត់វិសមភាព

(van khea) គេអោយបីចំនួនពិតវិជ្ជមាន a, b,c>1\&abc=8 ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ
\displaystyle \frac{1}{a-1}+\frac{1}{b-1}+\frac{1}{c-1}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{15}{4}
សំរាយបញ្ជាក់
យើងមាន (x-2)^2\geq 0\Rightarrow x^2\geq 4(x-1)>0\forall{x>1}
\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{x-1}\geq \frac{4}{x^2}
សមភាពកើតមានពេល x=2
ដូចនេះយើងបានៈ
\displaystyle \frac{1}{a-1}\geq \frac{4}{a^2}
\displaystyle \frac{1}{b-1}\geq \frac{4}{b^2}
\displaystyle \frac{1}{c-1}\geq \frac{4}{c^2}
សមភាពកើតមានពេល a=b=c=2
ដូចនេះវិសមភាពខាងលើសមមូលនឹងៈ
\displaystyle \frac{1}{a-1}+\frac{1}{b-1}+\frac{1}{c-1}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\displaystyle \geq \frac{4}{a^2}+\frac{4}{b^2}+\frac{4}{c^2}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}
ម្យ៉ាងទៀតតាមវិសមភាព Cauchy យើងមានៈ
\displaystyle \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\geq \frac{2}{ab}=\frac{c}{4}
\displaystyle \frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq \frac{2}{bc}=\frac{a}{4}
\displaystyle \frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2}\geq \frac{2}{ca}=\frac{b}{4}
បូកអង្គនិងអង្គនៃវិសមភាពខាងលើយើងបានៈ
\displaystyle \frac{2}{a^2}+\frac{2}{b^2}+\frac{2}{c^2}\geq \frac{a}{4}+\frac{b}{4}+\frac{c}{4}
\displaystyle \Rightarrow \frac{4}{a^2}+\frac{4}{b^2}+\frac{4}{c^2}\geq \frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{2}
សមភាពកើតមានពេល a=b=c=2
ដូចនេះយើងបានៈ
\displaystyle \frac{1}{a-1}+\frac{1}{b-1}+\frac{1}{c-1}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\displaystyle \geq \frac{1}{2}(a+b+c)+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\displaystyle \geq \frac{a+b}{16}+\frac{b+c}{16}+\frac{c+a}{16}+\frac{3}{8}(a+b+c)+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}
តាមវិសមភាព Cauchy យើងមានៈ
\displaystyle \frac{a+b}{16}+\frac{1}{a+b}\geq \frac{1}{2}
\displaystyle \frac{b+c}{16}+\frac{1}{b+c}\geq \frac{1}{2}
\displaystyle \frac{c+a}{16}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{1}{2}
បូកអង្គនិងអង្គនៃវិសមភាពខាងលើយើងបានៈ
\displaystyle \frac{a+b}{16}+\frac{b+c}{16}+\frac{c+a}{16}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{3}{2}
ដូចនេះយើងទាញបានៈ
\displaystyle \frac{1}{a-1}+\frac{1}{b-1}+\frac{1}{c-1}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\displaystyle \geq \frac{3}{8}(a+b+c)+\frac{3}{2}
អនុវត្តន៍វិសមភាព Cauchy ម្ដងទៀតចំពោះចំនួនពិតវិជ្ជមាន a, b, c យើងមាន a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=6
\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{a-1}+\frac{1}{b-1}+\frac{1}{c-1}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\displaystyle \geq \frac{3.6}{8}+\frac{3}{2}=\frac{15}{4}

ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់ សមភាពកើតមានពេល​ a=b=c=2

នៅមានវិធីមួយចំនួនទៀតដែលមិត្តអ្នកសិក្សាអាចសាកល្បងបានដូចជា៖

យើងអាចអនុវត្តន៍ដូចខាងក្រោម

យើងមាន \displaystyle \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{9}{2(a+b+c)}

\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{2}(a+b+c)+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{1}{2}(a+b+c)+\frac{9}{2(a+b+c)}\displaystyle \geq \frac{3}{8}(a+b+c)+\frac{a+b+c}{8}+\frac{9}{2(a+b+c)}

តាមវិសមភាព Cuachy យើងមាន: \displaystyle \frac{a+b+c}{8}+\frac{9}{2(a+b+c)}\geq \frac{3}{2}

\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{2}(a+b+c)+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{3}{8}(a+b+c)+\frac{3}{2}

មើលលំនាំខាងលើយើងនឹងបានចំលើយ។

ហើយមិត្តអ្នកសិក្សាក៏អាចសាកល្បងដោយប្រើតារាងអថេរភាពគឺមិត្តអ្នកសិក្សាត្រូវស្រាយថាៈ

\displaystyle \frac{1}{2}(a+b+c)+\frac{9}{2(a+b+c)}\geq \frac{15}{4}

គឺយើងអាចតាង t=a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=6

ដូចនេះមិត្តអ្នកសិក្សាគ្រាន់តែស្រាយថា \displaystyle \frac{1}{2}t+\frac{9}{2t}\geq \frac{15}{4}\Leftrightarrow 2t^2-15t+18\geq 0

ហើយចំពោះរបៀបមួយទៀតនោះរាងពិបាកបន្ដិចតែខ្ញុំក៏សូមណែនាំមិត្តអ្នកសិក្សាអោយចេះប្រើរបៀបនោះដែរ ព្រោះថាលំហាត់មួយចំនួន គេក៏និយមបំលែងអោយចូលរាងរបស់វាដែរ។

យើងមាន \displaystyle \frac{4}{a^2}+\frac{4}{b^2}+\frac{4}{c^2}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\displaystyle =\frac{3}{a^2}+\frac{3}{b^3}+\frac{3}{c^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}

តាមវិសមភាព Cauchy យើងមានៈ

\displaystyle \frac{1}{a^2}+\frac{1}{a+b}\geq \frac{2}{a\sqrt{a+b}}

ធ្វើលំនាំដូចគ្នាយើងនឹងបានៈ

\displaystyle \frac{4}{a^2}+\frac{4}{b^2}+\frac{4}{c^2}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\displaystyle \geq \frac{3}{a^2}+\frac{3}{b^2}+\frac{3}{c^2}+\frac{2}{a\sqrt{a+b}}+\frac{2}{b\sqrt{b+c}}+\frac{2}{c\sqrt{c+a}}

មិត្តអ្នកសិក្សាចាំបាច់ត្រូវស្រាយ \displaystyle \frac{2}{a\sqrt{a+b}}+\frac{2}{b\sqrt{b+c}}+\frac{2}{c\sqrt{c+a}}\geq \frac{6}{\sqrt{2abc}}

ហើយចំពោះវិធីស្រាយវិសមភាពខាងលើមិត្តអ្នកសិក្សាអាចមើលនៅទីនេះ

សង្ឃឹមថាការណែនាំនូវរបៀបមួយចំនួនខាងលើជាផ្លូវមួយអាចអោយមិត្តអ្នកសិក្សាយល់ និងអាចធ្វើដោយប្រើគំនិតគិតខ្ពស់

បំផុត ហើយខ្ញុំនឹងព្យាយាមរកឬតែងនូលលំហាត់ដែលជាគន្លឹះពិសេសៗក្នុងគណិតវិទ្យា សំរាប់ចែកជូនមិត្តអ្នកសិក្សាទាំងអស់

សូមអរគុណ ពីខ្ញុំវ៉ាន់ ឃា

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: