# លំហាត់វិសមភាព

(van khea) គេអោយបីចំនួនពិតវិជ្ជមាន $a, b,c>1\&abc=8$ ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ
$\displaystyle \frac{1}{a-1}+\frac{1}{b-1}+\frac{1}{c-1}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{15}{4}$
សំរាយបញ្ជាក់
យើងមាន $(x-2)^2\geq 0\Rightarrow x^2\geq 4(x-1)>0\forall{x>1}$
$\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{x-1}\geq \frac{4}{x^2}$
សមភាពកើតមានពេល $x=2$
ដូចនេះយើងបានៈ
$\displaystyle \frac{1}{a-1}\geq \frac{4}{a^2}$
$\displaystyle \frac{1}{b-1}\geq \frac{4}{b^2}$
$\displaystyle \frac{1}{c-1}\geq \frac{4}{c^2}$
សមភាពកើតមានពេល $a=b=c=2$
ដូចនេះវិសមភាពខាងលើសមមូលនឹងៈ
$\displaystyle \frac{1}{a-1}+\frac{1}{b-1}+\frac{1}{c-1}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}$$\displaystyle \geq \frac{4}{a^2}+\frac{4}{b^2}+\frac{4}{c^2}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}$
ម្យ៉ាងទៀតតាមវិសមភាព Cauchy យើងមានៈ
$\displaystyle \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\geq \frac{2}{ab}=\frac{c}{4}$
$\displaystyle \frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq \frac{2}{bc}=\frac{a}{4}$
$\displaystyle \frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2}\geq \frac{2}{ca}=\frac{b}{4}$
បូកអង្គនិងអង្គនៃវិសមភាពខាងលើយើងបានៈ
$\displaystyle \frac{2}{a^2}+\frac{2}{b^2}+\frac{2}{c^2}\geq \frac{a}{4}+\frac{b}{4}+\frac{c}{4}$
$\displaystyle \Rightarrow \frac{4}{a^2}+\frac{4}{b^2}+\frac{4}{c^2}\geq \frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{2}$
សមភាពកើតមានពេល $a=b=c=2$
ដូចនេះយើងបានៈ
$\displaystyle \frac{1}{a-1}+\frac{1}{b-1}+\frac{1}{c-1}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}$$\displaystyle \geq \frac{1}{2}(a+b+c)+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}$$\displaystyle \geq \frac{a+b}{16}+\frac{b+c}{16}+\frac{c+a}{16}+\frac{3}{8}(a+b+c)+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}$
តាមវិសមភាព Cauchy យើងមានៈ
$\displaystyle \frac{a+b}{16}+\frac{1}{a+b}\geq \frac{1}{2}$
$\displaystyle \frac{b+c}{16}+\frac{1}{b+c}\geq \frac{1}{2}$
$\displaystyle \frac{c+a}{16}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{1}{2}$
បូកអង្គនិងអង្គនៃវិសមភាពខាងលើយើងបានៈ
$\displaystyle \frac{a+b}{16}+\frac{b+c}{16}+\frac{c+a}{16}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{3}{2}$
ដូចនេះយើងទាញបានៈ
$\displaystyle \frac{1}{a-1}+\frac{1}{b-1}+\frac{1}{c-1}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}$$\displaystyle \geq \frac{3}{8}(a+b+c)+\frac{3}{2}$
អនុវត្តន៍វិសមភាព Cauchy ម្ដងទៀតចំពោះចំនួនពិតវិជ្ជមាន $a, b, c$ យើងមាន $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=6$
$\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{a-1}+\frac{1}{b-1}+\frac{1}{c-1}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}$$\displaystyle \geq \frac{3.6}{8}+\frac{3}{2}=\frac{15}{4}$

ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់ សមភាពកើតមានពេល​ $a=b=c=2$

## នៅមានវិធីមួយចំនួនទៀតដែលមិត្តអ្នកសិក្សាអាចសាកល្បងបានដូចជា៖

យើងអាចអនុវត្តន៍ដូចខាងក្រោម

យើងមាន $\displaystyle \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{9}{2(a+b+c)}$

$\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{2}(a+b+c)+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{1}{2}(a+b+c)+\frac{9}{2(a+b+c)}$$\displaystyle \geq \frac{3}{8}(a+b+c)+\frac{a+b+c}{8}+\frac{9}{2(a+b+c)}$

តាមវិសមភាព Cuachy យើងមាន: $\displaystyle \frac{a+b+c}{8}+\frac{9}{2(a+b+c)}\geq \frac{3}{2}$

$\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{2}(a+b+c)+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{3}{8}(a+b+c)+\frac{3}{2}$

មើលលំនាំខាងលើយើងនឹងបានចំលើយ។

ហើយមិត្តអ្នកសិក្សាក៏អាចសាកល្បងដោយប្រើតារាងអថេរភាពគឺមិត្តអ្នកសិក្សាត្រូវស្រាយថាៈ

$\displaystyle \frac{1}{2}(a+b+c)+\frac{9}{2(a+b+c)}\geq \frac{15}{4}$

គឺយើងអាចតាង $t=a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=6$

ដូចនេះមិត្តអ្នកសិក្សាគ្រាន់តែស្រាយថា $\displaystyle \frac{1}{2}t+\frac{9}{2t}\geq \frac{15}{4}\Leftrightarrow 2t^2-15t+18\geq 0$

ហើយចំពោះរបៀបមួយទៀតនោះរាងពិបាកបន្ដិចតែខ្ញុំក៏សូមណែនាំមិត្តអ្នកសិក្សាអោយចេះប្រើរបៀបនោះដែរ ព្រោះថាលំហាត់មួយចំនួន គេក៏និយមបំលែងអោយចូលរាងរបស់វាដែរ។

យើងមាន $\displaystyle \frac{4}{a^2}+\frac{4}{b^2}+\frac{4}{c^2}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}$$\displaystyle =\frac{3}{a^2}+\frac{3}{b^3}+\frac{3}{c^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}$

តាមវិសមភាព Cauchy យើងមានៈ

$\displaystyle \frac{1}{a^2}+\frac{1}{a+b}\geq \frac{2}{a\sqrt{a+b}}$

ធ្វើលំនាំដូចគ្នាយើងនឹងបានៈ

$\displaystyle \frac{4}{a^2}+\frac{4}{b^2}+\frac{4}{c^2}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}$$\displaystyle \geq \frac{3}{a^2}+\frac{3}{b^2}+\frac{3}{c^2}+\frac{2}{a\sqrt{a+b}}+\frac{2}{b\sqrt{b+c}}+\frac{2}{c\sqrt{c+a}}$

មិត្តអ្នកសិក្សាចាំបាច់ត្រូវស្រាយ $\displaystyle \frac{2}{a\sqrt{a+b}}+\frac{2}{b\sqrt{b+c}}+\frac{2}{c\sqrt{c+a}}\geq \frac{6}{\sqrt{2abc}}$

ហើយចំពោះវិធីស្រាយវិសមភាពខាងលើមិត្តអ្នកសិក្សាអាចមើលនៅទីនេះ

សង្ឃឹមថាការណែនាំនូវរបៀបមួយចំនួនខាងលើជាផ្លូវមួយអាចអោយមិត្តអ្នកសិក្សាយល់ និងអាចធ្វើដោយប្រើគំនិតគិតខ្ពស់

បំផុត ហើយខ្ញុំនឹងព្យាយាមរកឬតែងនូលលំហាត់ដែលជាគន្លឹះពិសេសៗក្នុងគណិតវិទ្យា សំរាប់ចែកជូនមិត្តអ្នកសិក្សាទាំងអស់

សូមអរគុណ ពីខ្ញុំវ៉ាន់ ឃា