IMO Shortlist

ស្រាយបញ្ជាក់ថាចំពោះចំនួនវិជ្ជមាន a_1 ; a_2 ; ... ; a_n\leq 1 គេបានវិសមភាពខាងក្រោម:

\displaystyle \frac{1}{1 + a_1} + \frac{1}{1 + a_2} + ... + \frac{1}{1 + a_n}\leq \frac{n}{1 + \sqrt[n]{a_1a_2 ... a_n}}

ចំលើយ

តាង​ \displaystyle f(x) = \frac{1}{1 + e^x} ; x < 0

\displaystyle f'(x) = -\frac{e^x}{(1 + e^x)^2}

\displaystyle f''(x) = \frac{e^x(e^x - 1)}{(1 + e^x)^3} < 0 , \forall{x < 0}

នាំអោយ f(x) ជាអនុគមន៍ប៉ោងលើ (-\infty ; 0)

យក x_i = lna_i < 0 , \forall{i = 1, 2 , ... , n} ដែល (0 < a_i < 1)

តាមវិសមភាព Jensen គេបាន

\displaystyle f(x_1) + f(x_2) + ... + f(x_n)\leq nf\biggl(\frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}\biggl)

\displaystyle \Longleftrightarrow \frac{1}{1 + a_1} + \frac{1}{1 + a_2} + ... + \frac{1}{1 + a_n}\leq \frac{n}{1 + \sqrt[n]{a_1a_2 ... a_n}}

រៀបរៀងដោយ វ៉ាន់ ឃា

អ្នកអាចស្រាវជ្រាវនៅប្លកនេះបានតែហាមចំលងយកទៅធ្វើអាជីវកម្ម

Advertisements

5 Responses to IMO Shortlist

  1. kheavan says:

    តាមលំនាំខាងលើចូរស្រាយវិសមភាពខាងក្រោម

    ចំពោះ a_1 ; a_2 ; ... ; a_n > 1 គេបាន

    \displaystyle \frac{1}{1 + a_1} + \frac{1}{1 + a_2} + ... + \frac{1}{1 + a_n}\geq \frac{n}{1 + \sqrt[n]{a_1a_2 ... a_n}}

  2. Pingback: វិសមភាព « ចំណេះដឹងនិងចំណេះធ្វើ !!!

  3. Pingback: មេរៀនទី 1 « ចំណេះដឹងនិងចំណេះធ្វើ !!!

  4. Pingback: មេរៀនទី 1 « 2010inequality

  5. Pingback: លំហាត់គណិតវិទ្យា​ ល្អសំរាប់សិស្ស – Math Khmer free

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: