Schur’s inequality

\Longrightarrowចំពោះគ្រប់ចំនួនវិជ្ជមាន a ; b ; c និងចំនួនវិជ្ជមាន t គេបាន:

a^t(a - b)(a - c) + b^t(b - a)(b - c) + c^t(c - a)(c - b)\geq 0

វិសមភាពអាចអោយក្រោមទំរង់ទូទៅមួយផ្សេងទៀតដូចខាងក្រោម:

\Longrightarrow ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិតវិជ្ជមាន a ; b ; c , (a\geq b\geq c) និងចំនួនវិជ្ជមាន x ; y ; z គេបាន:
x(a - b)(a - c) + y(b - a)(b - c) + z(c - a)(c - b)\geq 0

នៅក្នុងឆ្នាំ២០០៧ អ្នកគណិតវិទ្យាជនជាតិរ៉ូម៉ានីឈ្មោះ Valentin Vornicu បានបង្ហាញថាទំរង់លក្ខណ៖ពិសេសនៃវិសមភាពស្យ៉ឺរនៅមានបន្ថែមទៀត៖

គេមាន a,b,c \in \mathbb{R} , x, y, z\in I, ដែល a \geq b \geq c, និង x \geq y \geq zz \geq y \geq x។ តាង k \in \mathbb{Z}^{+}, និងតាង f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_{0}^{+} អាចជាអនុគមន៍ប៉ោង ឬម៉ូណូតូន។ នោះគេបាន

f(x)(a-b)^k(a-c)^k+f(y)(b-a)^k(b-c)^k+f(z)(c-a)^k(c-b)^k \geq 0

សូមចុចត្រង់នេះដើម្បីមើលសំរាយបញ្ជាក់(សំរាយបញ្ជាក់)

សំរាយបញ្ជាក់

យើងពិនិត្យពីរករណីគឺ

– ករណី k ជាចំនួនគូវិសមភាពខាងលើពិតជានិច្ចព្រោះគ្រប់តួនៃវិសមភាពសុទ្ធតែវិជ្ជមាន។

-​ ករណី k ជាចំនួនសេសវិសមភាពខាងលើអាចសរសេរទៅជា

f(x)(a-b)^k(a-c)^k-f(y)(a-b)^k(b-c)^k+f(z)(a-c)^k(b-c)^k\geq 0

ឧបមាថា a\geq b\geq c, x\leq y\leq z

តាង \displaystyle m=\frac{(a-b)^k(a-c)^k}{z-y}, n=\frac{(a-b)^k(b-c)^k}{z-x}, p=\frac{(a-c)^k(b-c)^k}{y-x}

យើងមាន

\displaystyle m-n=\frac{(a-b)^k(a-c)^k}{z-y}-\frac{(a-b)^k(b-c)^k}{z-x}=(a-b)^k\biggl(\frac{(a-c)^k}{z-y}-\frac{(b-c)^k}{z-x}\biggl)

ដោយ \displaystyle x\leq y\leq z \Longrightarrow z-y\leq z-x \Longrightarrow \frac{1}{z-y}\geq \frac{1}{z-x}

a\geq b\geq c \Longrightarrow a-c\geq b-c \Longrightarrow (a-c)^k\geq (b-c)^k , k>0

\displaystyle \Longrightarrow \frac{(a-c)^k}{z-y}\geq \frac{(b-c)^k}{z-x} \Longrightarrow m\geq n

\displaystyle p-n=\frac{(a-c)^k(b-c)^k}{y-x}-\frac{(a-b)^k(b-c)^k}{z-x}=(b-c)^k\biggl(\frac{(a-c)^k}{y-x}-\frac{(a-b)^k}{z-x}\biggl)

ដោយ \displaystyle y-x\leq z-x \Longrightarrow \frac{1}{y-x}\geq \frac{1}{z-x}

a-c\geq a-b \Longrightarrow (a-c)^k\geq (a-b)^k , k>0

\displaystyle \Longrightarrow \frac{(a-c)^k}{y-x}\geq \frac{(a-b)^k}{z-x} \Longrightarrow p\geq n

តាមវិសមភាព V – K ចំពោះ f(t) ជាអនុគមន៍ប៉ោង \forall{x,y,z\in I} និង m\geq n, p\geq n គេបាន

m(z-x)f(x)-n(z-x)f(y)+p(y-x)f(z)\geq 0

ជំនួសតំលៃ m , n , p ចូលវិសមភាពខាងលើគេបាន

f(x)(a-b)^k(a-c)^k-f(y)(a-b)^k(b-c)^k+f(z)(a-c)^k(b-c)^k\geq 0 ពិតជានិច្ច។

ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។

អ្នករៀបរៀង វ៉ាន់ ឃា

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: