Popoviciu’s inequality

គេអោយ f(x) ជាអនុគមន៍ប៉ោងលើ I និងចំពោះ a ; b; c\in I គេបាន

\displaystyle f(a) + f(b) + f(c) + f(\frac{a + b + c}{3})\geq \frac{4}{3}\biggl(f(\frac{a + b}{2}) + f(\frac{b + c}{2}) + f(\frac{c + a}{2})\biggl)

សំរាយបញ្ជាក់

យើងឧបមាថា a\geq b\geq c

យើងពិនិត្យលើសំនុំស្វ៊ីតខាងដូចក្រោមៈ

\{x\}=(a, a, a, b, t, t, t, b, b, c, c, c) និង \{y\}=(m, m, m, m, n, n, n, n, p, p, p , p) ដែល

\displaystyle t=\frac{a+b+c}{3} , m=\frac{a+b}{2}, n=\frac{b+c}{2}, p=\frac{c+a}{2}

យើងទាញបាន

a\geq m , 3a+b\geq 4m , 3a+b+t\geq 4m+n, 3a+b+3t\geq 4m+3n

3a+2b+3t\geq 4m+4n , 3a+3b+3t\geq 4m+4n+p

3a+3b+3t+c\geq 4m+4m+2p , 3a+3b+3c+3t\geq 4m+4n+4p

ដូចនេះយើងទាញបាន \{x\}\gg \{y\} ។ ដោយ f(x) ជាអនុគមន៍ប៉ោងនោះ

តាមវិសមភាព Karamata យើងបាន

3(f(a)+f(b)+f(c)+f(t))\geq 4(f(m)+f(n)+f(p))

\displaystyle f(a) + f(b) + f(c) + f(\frac{a + b + c}{3})\geq \frac{4}{3}\biggl(f(\frac{a + b}{2}) + f(\frac{b + c}{2}) + f(\frac{c + a}{2})\biggl)

ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។

 

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: