Lagrange theorem

បើអនុគមន៍ f ជាអនុគមន៍ជាប់លើចន្លោះ [a , b] និងមានដេរីវេក្នុងចន្លោះ (a ; b) នោះយ៉ាងតិចមានចំនុច x_0 = c មួយ (a < x_0 = c < b) ដែល:

f(b) - f(a) = (b - a)f'(c)\displaystyle \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)

(Joseph-Louis de Lagrange – ជនជាតិបារាំង (17361813))

សំរាយបញ្ជាក់

របៀបទី 1                                                                                                     

តាង \displaystyle g(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.(x - a)

ដោយអនុគមន៍ f(x) ជាអនុគមន៍ជាប់លើចន្លោះ [ a , b] និងមានដេរីវេលើចន្លោះ (a , b)  នាំអោយ

g(x) ក៏ជាអនុគមន៍ជាប់លើ [a ; b] និងមានដេរីវេលើ (a ; b) ដែរ។

យើងមាន:

\displaystyle g(a) = f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.(a - a) = f(a)

\displaystyle g(b) = f(b) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.(b - a) = f(a)

យើងបាន g(a) = g(b) = f(a)

តាមទ្រឹស្ដីបទ Rolle នាំអោយមានចំនុច x_0 = c\in (a ; b) ដែល g'(c) = 0

\displaystyle g'(x) = f'(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

\displaystyle g'(c) = 0 \Longrightarrow f'(c) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = 0

\displaystyle f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

របៀបទី 2

តាង g(x) = (b - x)f(a) - (b - a)f(x) + (x - a)f(b)

ដោយអនុគមន៍ f(x) ជាអនុគមន៍ជាប់លើចន្លោះ [ a , b] និងមានដេរីវេលើចន្លោះ (a , b)  នាំអោយ

g(x) ក៏ជាអនុគមន៍ជាប់លើ [a ; b] និងមានដេរីវេលើ (a ; b) ដែរ។

យើងមាន

g(a) = (b - a)f(a) - (b - a)f(a) + (a - a)f(b) = 0

g(b) = (b - b)f(a) - (b - a)f(b) + (b - a)f(b) = 0

យើងបាន g(a) = g(b) = 0

តាមទ្រឹស្ដីបទ Rolle យ៉ាងតិចមានចំនុច x_0 = c\in (a ; b) ដែល: g'(c) = 0

ដោយ g'(x) = - f(a) - (b - a)f'(x) + f(b)

g'(c) = 0 \Longrightarrow - f(a) - (b - a)f'(c) + f(b) = 0

\Longrightarrow f(b) - f(a) = (b - a)f'(c)

វិធីទី2 នេះត្រូវបានខ្ញុំរកឃើញកាលពីចុងឆ្នាំ 2009 ។

របៀបទី 3

តាង g(x) = (b - a)f(x) - (f(b) - f(a))x

ដោយអនុគមន៍ f(x) ជាអនុគមន៍ជាប់លើចន្លោះ [ a , b] និងមានដេរីវេលើចន្លោះ (a , b)  នាំអោយ

g(x) ក៏ជាអនុគមន៍ជាប់លើ [a ; b] និងមានដេរីវេលើ (a ; b) ដែរ។

លំហាត់អនុវត្តន៍

យើងមាន

$latex g(a) = (b – a)f(a) – ( f(b) – f(a) ).a = bf(a) – af(b)&s=1$

g(b) = (b - a)f(b) - ( f(b) - f(a) ).b = bf(a) - af(b)

គេបាន g(a) = g(b) 

តាមទ្រឹស្ដីបទ Rolle យ៉ាងតិចមានចំនុច x_0 = c\in (a ; b) ដែល: g'(c) = 0

ដោយ g'(x) = (b - a)f'(x) - ( f(b) - f(a) )

g'(c) = 0 \Longrightarrow (b - a)f'(c) - ( f(b) - f(a) ) = 0

\displaystyle \Longrightarrow f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

 
លំហាត់អនុវត្តន៍

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: