Holder’s inequality

ចំពោះគ្រប់ចំនួនវិជ្ជមាន a_1 ; a_2 ; ... ; a_n និង b_1 ; b_2 ; ... ; b_n ; \forall{n\in N^{*}}

ហើយចំពោះ p ; q > 1 និង \displaystyle \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 គេបាន :

\displaystyle a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n\leq (a_1^p + a_2^p + ... + a_n^p)^{\frac{1}{p}}.(b_1^q + b_2^q + .... + b_n^q)^{\frac{1}{q}}

  • នេះជាទំរង់ទូទៅនៃវិសមភាព Holder

ចំពោះ m ស្វ៊ីតនៃចំនួនវិជ្ជមាន (a_{1,1} ; a_{1,2} ; ... ; a_{1,n}), (a_{2,1} ; a_{2,2} ; ... ; a_{2,n}), ... , (a_{m,1} ; a_{m,2} ; ... ; a_{m,n})

គេបានវិសមភាពដូចខាងក្រោម:

\displaystyle \prod_{i = 1}^{m}\biggl(\sum_{j = 1}^{n}a_{i,j}\biggl)\geq \biggl(\sum_{j = 1}^{n}\sqrt[m]{\prod_{i = 1}^{m}a_{i,j}}\biggl)^m

ហើយវិសមភាពនេះគេនិយមប្រើបំផុតគឺករណី m = 2m = 3

\Longrightarrowអ្នកគួរចងចាំដែរនូវករណីពិសេសរបស់វិសមភាពនេះគឺត្រង់ n = m =3

មានន័យថាចំពោះចំនួនវិជ្ជមាន (a_1 ; b_1 ; c_1) ; (a_2 ; b_2 ; c_2) ; (a_3 ; b_3 ; c_3) គេបាន

(a_1^3 + a_1^3 + a_3^3)(b_1^3 + b_2^3 + b_3^3)(c_1^3 + c_2^3 + c_3^3)\geq (a_1b_1c_1 + a_2b_2c_2 + a_3b_3c_3)^3

សំរាយបញ្ជាក់

របៀបទី 1

តាង S = a_1^p + a_1^p + ... + a_n^p និង S' = b_1^q + b_2 + ... + b_n^q

តាមវិសមភាព Young គេបាន:

\displaystyle \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}\geq ab

ដែល a ; b > 0 និង \displaystyle p ; q > 1 ; \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1

តាង \displaystyle a = \frac{a_i}{S^{\frac{1}{p}}} និង \displaystyle b = \frac{b_i}{{S'}^{\frac{1}{q}}}

ជំនួសចូលវិសមភាពខាងលើគេបាន

\displaystyle \frac{a_i^p}{pS} + \frac{b_i^q}{qS'}\geq \frac{a_ib_i}{S^{\frac{1}{p}}.{S'}^{\frac{1}{q}}}

\displaystyle \frac{\sum_{i = 1}^{n}a_i^p}{pS} + \frac{\sum_{i = 1}^{n}b_i^q}{qS'}\geq \frac{\sum_{i = 1}^{n}a_ib_i}{S^{\frac{1}{p}}.{S'}^{\frac{1}{q}}}

\displaystyle \frac{S}{pS} + \frac{S'}{qS'}\geq \frac{\sum_{i = 1}^{n}a_ib_i}{S^{\frac{1}{p}}.{S'}^{\frac{1}{q}}}

\displaystyle \Longrightarrow \frac{\sum_{i = 1}^{n}a_ib_i}{S^{\frac{1}{p}}.{S'}^{\frac{1}{q}}}\leq \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1

\displaystyle \Longrightarrow \sum_{i = 1}^{n}a_ib_i\leq S^{\frac{1}{p}}{S'}^{\frac{1}{q}}

\displaystyle \Longrightarrow \sum_{i = 1}^{n}a_ib_i\leq \biggl(\sum_{i = 1}^{n}a_i^p\biggl)^{\frac{1}{p}}.\biggl(\sum_{i = 1}^{n}b_i^q\biggl)^{\frac{1}{q}}

របៀបទី 2

តាង f(x) = x^p ; p > 1 ; x > 0

\Longrightarrow f'(x) = px^{p - 1}

\Longrightarrow f''(x) = p(p - 1)x^{p - 2} > 0 ; \forall{x > 0}

គេបាន f(x) ជាអនុគមន៍ផតលើ (0 ; +\infty)

តាង c_i = b_i^q និង x_i = a_ib_i^{1 - q}

តាមវិសមភាព Jensen គេបាន:

\displaystyle \frac{c_1f(x_i) + c_2f(x_2) + ... + c_nf(x_n)}{c_1 + c_2 + ... + c_n}\geq f\biggl(\frac{c_1x_1 + c_2x_2 + ... + c_nx_n}{c_1 + c_2 + ... + c_n}\biggl)

\displaystyle \frac{b_1^qa_1^pb_1^{(1 - q)p} + b_2^qa_2^pb_2^{(1 - q)p} + ... + b_n^qa_n^pb_n^{(1 - q)p}}{b_1^q + b_2^q + ... + b_n^q} \displaystyle \geq \biggl(\frac{a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n}{b_1^q + b_2^q + ... + b_n^q}\biggl)^p

ដោយ q + (1 - q)p = 0

(a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^p\leq (a_1^p + a_2^p + ... + a_n^p)(b_1^q + b_2^q + ... +b_n^q)^{p - 1}

\displaystyle a_1b_1 +a_2b_2 + ... + a_nb_n\leq (a_1^p + a_2^p + ... + a_n^p)^{\frac{1}{p}}(b_1^q + b_2^q + ... + b_n^q)^{1 - \frac{1}{p}}

\displaystyle a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n\geq \biggl(a_1^p + a_2^p + ... + a_n^p\biggl)^{\frac{1}{p}}\biggl(b_1^q + b_2^q + ... + b_n^q\biggl)^{\frac{1}{q}}

របៀបទី 3

យើងមានៈ \displaystyle \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\Longrightarrow 2-\frac{1}{p}-\frac{1}{q}=1 ; តាមវិសមភាព Van Khea គេបានៈ 

\displaystyle a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n=\frac{(a_1b_1)^2}{(a_1^{p})^{\frac{1}{p}}(b_1^{q})^{\frac{1}{q}}}+\frac{(a_2b_2)^2}{(a_2^{p})^{\frac{1}{p}}(b_2^{q})^{\frac{1}{q}}}+...+\frac{(a_nb_n)^2}{(a_n^{p})^{\frac{1}{p}}(b_n^{q})^{\frac{1}{q}}} \displaystyle \geq \frac{(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2}{(a_1^{p}+a_2^{p}+...+a_n^{p})^{\frac{1}{p}}(b_1^{q}+b_2^{q}+...+b_n^{q})^{\frac{1}{q}}}

\displaystyle \Longrightarrow a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n\geq \frac{(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2}{(a_1^{p}+a_2^{p}+...+a_n^{p})^{\frac{1}{p}}(b_1^{q}+b_2^{q}+...+b_n^{q})^{\frac{1}{q}}}

\displaystyle \Longrightarrow \biggl(a_1^{p}+a_2^{p}+...+a_n^{p}\biggl)^{\frac{1}{p}}\biggl(b_1^{q}+b_2^{q}+...+b_n^{q}\biggl)^{\frac{1}{q}}\geq a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n

ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់់។

របៀបទីបីនេះជារបៀបថ្មីបំផុតក្នុងចំនោមរបៀបនៃការស្រាយបញ្ជាក់វិសមភាព Holder

ហើយក៏ជារបៀបដែលងាយយល់ជាងគេខ្លីជាងគេដែរ ក៏ប៉ុន្តែមានបញ្ហាត្រង់ថាបើសិនជាអ្នក

យករបៀបទីបីនេះទៅស្រាយនោះអ្នកត្រូវប្រើវិសមភាព Van Khea ដែលជាវិសមភាពថ្មីមួយ

ហេតុនេះគេអាចអោយអ្នកខុសតែម្ដងព្រោះថាគេមិនស្គាល់វិសមភាព Van Khea នេះទេ ។

ក៏ប៉ុន្តែអ្នកក៏អាចយកវិសមភាព Van Khea ទៅប្រើប្រាស់បានដែរក្នុងករណីដែលគេបើកអោយ

អ្នកដោះស្រាយដោយសេរី។

ត្រឡប់មកទំព័រ វិសមភាព Cauchy – Schwarz

បន្តទៅទំព័រ វិសមភាព Young

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: