Diaz’s inequality

គេអោយចំនួនពិតវិជ្ជមាន a_1, a_1, ..., a_n និង b_1, b_2, ..., b_n ដែល a_k\neq 0 ; \forall{k=1 , 2, ... , n} ។ ឧបមាថា \displaystyle m\leq \frac{b_k}{a_k}\leq M , \forall{k=1, 2, ... , n} គេបាន:

\displaystyle \sum_{k=1}^{n}b_k^2+mM\sum_{k=1}^{n}a_k^2\leq (m+M)\sum_{k=1}^{n}a_kb_k

សំរាយបញ្ជាក់

បើតាមខ្ញុំធ្លាប់សាកស្រាយទ្រឹស្ដីបទខាងលើ គឺមានច្រើនរបៀបសំរាប់ស្រាយក៏ប៉ុន្តែខ្ញុំសូមលើកយកតែពីរ

របៀបមកស្រាយបញ្ជាក់ទៅចុះ

របៀបទី 1 របៀបនេះយើងត្រូវចងចាំអោយច្បាស់ហើយត្រូវយល់អោយច្បាស់ពីវិធីប្រើវា

ចំនុចត្រូវយល់និងចងចាំ: ចំពោះបីចំនួន a\leq b\leq c\Longrightarrow b^2+ac\leq (a+c)b

តាមបំរាបខាងលើយើងមាន \displaystyle m\leq \frac{b_k}{a_k}\leq M

\displaystyle \Longrightarrow \biggl(\frac{b_k}{a_k}\biggl)^2+mM\leq (m+M)\frac{b_k}{a_k}

តំរូវភាគបែងយើងបាន b_k^2+mMa_k^2\leq (m+M)a_kb_k

បូកអង្គនិងអង្គចំនួន n ដឹងយើងបាន

\displaystyle \sum_{k=1}^{n}b_k^2+mM\sum_{k=1}^{n}a_k^2\leq (m+M)\sum_{k=1}^{n}a_kb_k

របៀបទី 2 របៀបនេះគឺខ្ញុំគ្រាន់តែលើកយកចំនុចពិសេសនៃវិសមភាពមួយមកស្រាយវារាងវែងតិច

តាង f(x)=x^2, \forall{x\in R}

f'(x)=2x

f''(x)=2>0 , \forall{x\in R}

តាមវិសមភាព V – K ចំពោះ \displaystyle m\leq \frac{b_k}{a_k}\leq M និង f''(x)>0 គេបាន

\displaystyle (M-\frac{b_k}{a_k})f(m)-(M-m)f(\frac{b_k}{a_k})+(\frac{b_k}{a_k}-m)f(M)\geq 0

\displaystyle (M-\frac{b_k}{a_k})m^2-(M-m)\frac{b_k^2}{a_k^2}+(\frac{b_k}{a_k}-m)M^2\geq 0 តំរូវភាគបែងយើងបាន

\displaystyle (Ma_k^2-a_kb_k)m^2-(M-m)b_k^2+(a_kb_k-ma_k^2)M^2\geq 0

(M^2-m^2)a_kb_k\geq (M-m)b_k^2+mM(M-m)a_k^2

\Longrightarrow (M+m)a_kb_k\geq b_k^2+mMa_k^2

\displaystyle \Longrightarrow (m+M)\sum_{k=1}^{n}a_kb_k\geq \sum_{k=1}^{n}b_k^2+mM\sum_{k=1}^{n}a_k^2

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: