Cauchy theorem

បើពីរអនុគមន៍ f និង g ជាអនុគមន៍ជាប់លើចន្លោះ [a , b] ; មានដេរីវេលើចន្លោះ (a ; b) និង g(a)\neq g(b) ហើយ  g'(x)\neq 0 ; \forall{x\in (a ; b)} នោះយ៉ាងតិចមានចំនុច x_0 = c មួយ (a < x_0 = c < b) ដែល:

\displaystyle \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}

(Augustin Louis Cauchy – ជនជាតិបារាំង (17891857))

 

 

សំរាយបញ្ជាក់

របៀបទី

 តាង \displaystyle h(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}.(g(x) - g(a))

ដោយ f(x) និង g(x) ជាអនុគមន៍ជាប់លើចន្លោះ[a ; b] និងមានដេរីវេលើ​ (a ; b) នោះគេបាន
h(x) ក៏ជាអនុគមន៍ជាប់លើចន្លោះ[a ; b] និងមានដេរីវេលើ​ (a ; b) ដែរ។

យើងមាន
\displaystyle h(a) = f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}.(g(a) - g(a)) = f(a)

\displaystyle h(b) = f(b) - \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}.(g(b) - g(a)) = f(a)

យើងបាន h(a) = h(b) = f(a)

តាមទ្រឹស្ដីបទ Rolle នាំអោយមានយ៉ាងតិចចំនុច x_0 = c\in (a ; b) មួយដែល h'(c) = 0

ដោយ \displaystyle h'(x) = f'(x) - \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}.g'(x)

\displaystyle \Longrightarrow h'(c) = f'(c) - \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}.g'(c) = 0

\displaystyle \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}.g'(c) = f'(c)

g(a)\neq g(b) និង  g'(x)\neq 0 \forall{x\in (a ; b)} \Longrightarrow g'(c)\neq 0 ; \forall{c\in (a ; b)}

\displaystyle \Longrightarrow \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}

របៀបទី 2

តាង h(x) = (g(b) - g(x))f(a) - (g(b) - g(a))f(x) + (g(x) - g(a))f(b)

ដោយ f(x) និង g(x) ជាអនុគមន៍ជាប់លើចន្លោះ [a ; b] និងមានដេរីវេលើចន្លោះ (a ; b) នោះអនុគមន៍ h(x) ក៏ជាអនុគមន៍ជាប់លើចន្លោះ [a ; b] និងមានដេរីវេលើចន្លោះ (a ; b) ដែរ។

យើងមាន:

h(a) = (g(b) - g(a))f(a) - (g(b) - g(a))f(a) + (g(a) - g(a)) = 0

h(b) = (g(b) - g(b))f(a) - (g(b) - g(a))f(b) + (g(b) - g(a))f(b) = 0

គេបាន h(a) = h(b) = 0 ដូចនេះតាមទ្រឹស្ដីបទ Rolle  មានយ៉ាងតិច​ចំនូច x_0 = c\in (a ; b) មួយដែល​ h'(c) = 0

ដោយ h'(x) = -g'(x).f(a) - (g(b) - g(a))f'(x) + g'(x)f(b)

h'(x) = (f(b) - f(a))g'(x) - (g(b) - g(a))f'(x)

h'(c) = 0 \Longrightarrow (f(b) - f(a))g'(c) - (g(b) - g(a))f'(c) = 0

g(a)\neq g(b) និង g'(c)\neq 0 ; \forall{c\in (a ; b)}

\displaystyle \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}

 

របៀបទី 3

តាង h(x) = ( g(b) - g(a) ).f(x) - ( f(b) - f(a) ).g(x)

ដោយ f(x) និង g(x) ជាអនុគមន៍ជាប់លើចន្លោះ [a ; b] និងមានដេរីវេលើចន្លោះ (a ; b) នោះអនុគមន៍ h(x) ក៏ជាអនុគមន៍ជាប់លើចន្លោះ [a ; b] និងមានដេរីវេលើចន្លោះ (a ; b) ដែរ។

យើងមាន

h(a) = ( g(b) - g(a) ).f(a) - ( f(b) - f(a) ).g(a) = g(b)f(a) - g(a)f(b)

h(b) = ( g(b) - g(a) ).f(b) - ( f(b) - f(a)).g(b) = g(b)f(a) - g(a)f(b)

គេបាន h(a) = h(b) ដូចនេះតាមទ្រឹស្ដីបទ Rolle  មានយ៉ាងតិច​ចំនូច x_0 = c\in (a ; b) មួយដែល​ h'(c) = 0

ដោយ h'(x) = ( g(b) - g(a) ).f'(x) - ( f(b) - f(a) ).g'(x)

h'(c) = 0 \Longrightarrow ( g(b) - g(a) ).f'(c) - ( f(b) - f(a) ).g'(c) = 0

g(a)\neq g(b) និង g'(c)\neq 0 ; \forall{c\in (a ; b)}

\displaystyle \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}

 

 

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: