# Cauchy-Schwarz’s inequality

ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត $a_1 ; a_2 ; ... ; a_n ; b_1 ; b_2 ; ... ; b_n ; \forall{n\in N^{*}}$   គេបាន

$(a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2\leq (a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2)$

លក្ខណៈទូទៅនៃវិសមភាព Bunhiacopski

ចំពោះគ្រប់ចំនួនវិជ្ជមាន $a_1, a_2, ..., a_n , b_1, b_2, ... , b_n$ និងចំពោះ $p\geq 2$ គេបាន

$\displaystyle \biggl(\frac{a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n}{n}\biggl)^p\leq \biggl(\frac{a_1^p+a_2^p+...+a_n^p}{n}\biggl).\biggl(\frac{b_1^p+b_2^p+...+b_n^p}{n}\biggl)$

## សំរាយបញ្ជាក់

### របៀបទី ១

តាង $f(x) = (a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)x^2 - 2(a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)x + b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2$

$f(x) = (a_1x - b_1)^2 + (a_2x - b_2)^2 + ... + (a_nx - b_n)^2\geq 0 ; \forall{a_i ; b_i ; x\in R}$

តាមលក្ខណៈសមីការដឺក្រេទី2 ដោយ $af(x) > 0$ $\Longrightarrow \Delta'\leq 0$

$\Delta' = (a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2 - (a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2)\leq 0$

$\Longrightarrow (a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2\leq (a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2)$

### របៀបទី 2

យើងមាន $(a - b)^2\geq 0 \forall{a , b\in R} \Longrightarrow a^2 + b^2\geq 2ab$

$\displaystyle \Longrightarrow \frac{1}{2}.a^2 + \frac{1}{2}.b^2 ; (1)$

តាង​ $\displaystyle S = \sum_{i = 1}^{n}a_i^2$ និង $\displaystyle S' = \sum_{i = 1}^{n}b_i^2$

យក $\displaystyle a = \frac{a_i}{\sqrt{S}}$ និង $\displaystyle b = \frac{b_i^2}{\sqrt{S'}}$

តាម $\displaystyle (1) \Longrightarrow \frac{1}{2}.\frac{a_i^2}{S} + \frac{1}{2}.\frac{b_i^2}{S'}\geq \frac{a_ib_i}{\sqrt{S.S'}}$

យក $i = 1 ; 2 ; ... ; n$ តាមលំដាប់រូចបូកអង្គនិងអង្គនៃវិសមភាពខាងលើគេបាន

$\displaystyle \frac{1}{2}.\frac{\sum_{i = 1}^{n}a_i^2}{S} + \frac{1}{2}.\frac{\sum_{i = 1}^{n}b_i^2}{S'}\geq \frac{\sum_{i = 1}^{n}a_ib_i}{\sqrt{S.S'}}$

$\displaystyle \frac{1}{2}.\frac{S}{S} + \frac{1}{2}.\frac{S'}{S'}\geq \frac{\sum_{i = 1}^{n}a_ib_i}{\sqrt{S.S'}}$

$\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\geq \frac{\sum_{i = 1}^{n}a_ib_i}{\sqrt{S.S'}}$

$\displaystyle 1\geq \frac{\sum_{i = 1}^{n}a_ib_i}{\sqrt{S.S'}}$

$\displaystyle \Longrightarrow \sqrt{S.S'}\geq \sum_{i = 1}^{n}a_ib_i$

$\displaystyle (\sum_{i = 1}^{n}a_ib_i)^2\leq S.S' = \sum_{i = 1}^{n}a_i^2.\sum_{i = 1}^{n}b_i^2$

$\Longrightarrow (a_1b_i + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2\leq (a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2)$

## សំរាយបញ្ជាក់ករណីទូទៅ

របៀបទី 1

យើងពិនិត្យករណី $k>1$

តាង $f(x)=x^k , x\geq 0 , k> 1$

$f'(x)=kx^{k-1}$

$f''(x)=k(k-1)x^{k-2}>0$

តាមវិសមភាព Jensen គេបាន

$\displaystyle \biggl(\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}\biggl)^k\leq \frac{x_1^k+x_2^k+...+x_n^k}{n}$

តាមវិសមភាពខាងលើ ចំពោះ $p=2$ យើងបានពិតជានិច្ច ឥឡូវយើងពិនិត្យករណី $p>2$ យើងបាន

$\displaystyle \biggl(\frac{a_1b_1+...+a_nb_n}{n}\biggl)^p=\biggl[\biggl(\frac{a_1b_1+...+a_nb_n}{n}\biggl)^{\frac{p}{2}}\biggl]^{2}$$\displaystyle \leq \biggl(\frac{a_1^{\frac{p}{2}}b_1^{\frac{p}{2}}+...+a_n^{\frac{p}{2}}b_n^{\frac{p}{2}}}{n}\biggl)^2$

តែយើងមាន $(a_1b_1+...+a_nb_n)^2\leq (a_1^2+...+a_n^2)(b_1^2+...+b_n^2)$

ដូចនេះយើងបាន

$\displaystyle \biggl(\frac{a_1^{\frac{p}{2}}b_1^{\frac{p}{2}}+...+a_n^{\frac{p}{2}}b_1^{\frac{p}{2}}}{n}\biggl)^2\leq \biggl(\frac{a_1^p+...+a_n^p}{n}\biggl)\biggl(\frac{b_1^p+...+b_n^p}{n}\biggl)$

សរុបមកយើងបាន

ចំពោះគ្រប់ចំនួនវិជ្ជមាន $a_1, a_2, ..., a_n , b_1, b_2, ... , b_n$ និងចំពោះ $p\geq 2$ គេបាន

$\displaystyle \biggl(\frac{a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n}{n}\biggl)^p\leq \biggl(\frac{a_1^p+a_2^p+...+a_n^p}{n}\biggl).\biggl(\frac{b_1^p+b_2^p+...+b_n^p}{n}\biggl)$

នេះជាការស្រាយបញ្ជាក់មួយដែលខ្ញុំបានគិតអស់ជាច្រើនខែទំរាំរកនឹកថាត្រូវស្រាយយ៉ាងម៉េច

សង្ឃឹមថាវានឹងអាចជួយលោកអ្នកដោះស្រាយលំហាត់បានលឿនជាងមុន វាអាចកាត់បន្ថយការ

ស្មុគស្មាញរបស់អ្នកបានច្រើន។

របៀបទី 2 អនុវត្តន៍វិសមភាព Van Khea

យើងមានៈ

$\displaystyle x_1^p+x_2^p+...+x_n^p=\frac{(x_1y_1)^p}{1^{p-2}.y_1^p}+\frac{(x_2y_2)^p}{1^{p-2}.y_2^p}+...+\frac{(x_ny_n)^p}{1^{p-2}.y_n^p}$

$\displaystyle \geq \frac{(x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n)^p}{(1+1+...+1)^{p-2}(y_1^p+y_2^p+...+y_n^p)}$

$\displaystyle \Longrightarrow \biggl(\frac{x_1^p+x_2^p+...+x_n^p}{n}\biggl)\biggl(\frac{y_1^p+y_2^p+...+y_n^p}{n}\biggl)\geq \biggl(\frac{x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n}{n}\biggl)^p$

វ៉ាន់ ឃា

ត្រឡប់មកទំព័រ វិសមភាព Cauchy

បន្តទៅទំព័រ វិសមភាព Cauchy – Schwarz