# Lagrange theorem

បើអនុគមន៍ $f$ ជាអនុគមន៍ជាប់លើចន្លោះ $[a , b]$ និងមានដេរីវេក្នុងចន្លោះ $(a ; b)$ នោះយ៉ាងតិចមានចំនុច $x_0 = c$ មួយ $(a < x_0 = c < b)$ ដែល:

$f(b) - f(a) = (b - a)f'(c)$$\displaystyle \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)$

(Joseph-Louis de Lagrange – ជនជាតិបារាំង (17361813))

## សំរាយបញ្ជាក់

របៀបទី 1

តាង $\displaystyle g(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.(x - a)$

ដោយអនុគមន៍ $f(x)$ ជាអនុគមន៍ជាប់លើចន្លោះ $[ a , b]$ និងមានដេរីវេលើចន្លោះ $(a , b)$  នាំអោយ

$g(x)$ ក៏ជាអនុគមន៍ជាប់លើ $[a ; b]$ និងមានដេរីវេលើ $(a ; b)$ ដែរ។

យើងមាន:

$\displaystyle g(a) = f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.(a - a) = f(a)$

$\displaystyle g(b) = f(b) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.(b - a) = f(a)$

យើងបាន $g(a) = g(b) = f(a)$

តាមទ្រឹស្ដីបទ Rolle នាំអោយមានចំនុច $x_0 = c\in (a ; b)$ ដែល $g'(c) = 0$

$\displaystyle g'(x) = f'(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

$\displaystyle g'(c) = 0 \Longrightarrow f'(c) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = 0$

$\displaystyle f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

របៀបទី 2

តាង $g(x) = (b - x)f(a) - (b - a)f(x) + (x - a)f(b)$

ដោយអនុគមន៍ $f(x)$ ជាអនុគមន៍ជាប់លើចន្លោះ $[ a , b]$ និងមានដេរីវេលើចន្លោះ $(a , b)$  នាំអោយ

$g(x)$ ក៏ជាអនុគមន៍ជាប់លើ $[a ; b]$ និងមានដេរីវេលើ $(a ; b)$ ដែរ។

យើងមាន

$g(a) = (b - a)f(a) - (b - a)f(a) + (a - a)f(b) = 0$

$g(b) = (b - b)f(a) - (b - a)f(b) + (b - a)f(b) = 0$

យើងបាន $g(a) = g(b) = 0$

តាមទ្រឹស្ដីបទ Rolle យ៉ាងតិចមានចំនុច $x_0 = c\in (a ; b)$ ដែល: $g'(c) = 0$

ដោយ $g'(x) = - f(a) - (b - a)f'(x) + f(b)$

$g'(c) = 0 \Longrightarrow - f(a) - (b - a)f'(c) + f(b) = 0$

$\Longrightarrow f(b) - f(a) = (b - a)f'(c)$

វិធីទី2 នេះត្រូវបានខ្ញុំរកឃើញកាលពីចុងឆ្នាំ 2009 ។

របៀបទី 3

តាង $g(x) = (b - a)f(x) - (f(b) - f(a))x$

ដោយអនុគមន៍ $f(x)$ ជាអនុគមន៍ជាប់លើចន្លោះ $[ a , b]$ និងមានដេរីវេលើចន្លោះ $(a , b)$  នាំអោយ

$g(x)$ ក៏ជាអនុគមន៍ជាប់លើ $[a ; b]$ និងមានដេរីវេលើ $(a ; b)$ ដែរ។

លំហាត់អនុវត្តន៍

យើងមាន

$latex g(a) = (b – a)f(a) – ( f(b) – f(a) ).a = bf(a) – af(b)&s=1$

$g(b) = (b - a)f(b) - ( f(b) - f(a) ).b = bf(a) - af(b)$

គេបាន $g(a) = g(b)$

តាមទ្រឹស្ដីបទ Rolle យ៉ាងតិចមានចំនុច $x_0 = c\in (a ; b)$ ដែល: $g'(c) = 0$

ដោយ $g'(x) = (b - a)f'(x) - ( f(b) - f(a) )$

$g'(c) = 0 \Longrightarrow (b - a)f'(c) - ( f(b) - f(a) ) = 0$

$\displaystyle \Longrightarrow f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$