ទ្រឹស្ដីបទ វ៉ាន់ ឃា ( Van Khea’s theorem )

តាង P ជាចំនុចមួយស្ថិតនៅក្នុងត្រីកោណ \Delta ABC។ កន្លះបន្ទាត់ AP, BP, CP កាត់ជ្រុង BC, CA, AB រៀងគ្នាត្រង់ D, E, F។ តាង (l) ជាបន្ទាត់មួយកាត់​ AD, BE, CF រៀងគ្នាត្រង់ X, Y, Z
ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ
\displaystyle \frac{\overline{AP}}{\overline{PX}}\cdot \frac{\overline{XD}}{\overline{DA}}+\frac{\overline{BP}}{\overline{PY}}\cdot \frac{\overline{YE}}{\overline{EB}}+\frac{\overline{CP}}{\overline{PZ}}\cdot \frac{\overline{ZF}}{\overline{FC}}=2
កំណត់ចំណាំនៅក្នុងការប្រើប្រាស់សញ្ញារបស់ទ្រឹស្ដីបទខាងលើ
1) បើ X\in (PD) នោះគេបានៈ \displaystyle \frac{\overline{AP}}{\overline{PX}}\cdot \frac{\overline{XD}}{\overline{DA}}=-\frac{AP}{PX}\cdot \frac{XD}{DA}
ហើយបើសិនជា X\notin (PD) នោះគេបានៈ \displaystyle \frac{\overline{AP}}{\overline{PX}}\cdot \frac{\overline{XD}}{\overline{DA}}=\frac{AP}{PX}\cdot \frac{XD}{DA}
2) បើ Y\in (PE) នោះគេបានៈ \displaystyle \frac{\overline{BP}}{\overline{PY}}\cdot \frac{\overline{YE}}{\overline{EB}}=-\frac{BP}{PY}\cdot \frac{YE}{EB}
ហើយបើសិនជា Y\notin (PE) នោះគេបានៈ \displaystyle \frac{\overline{BP}}{\overline{PY}}\cdot \frac{\overline{YE}}{\overline{EB}}=\frac{BP}{PY}\cdot \frac{YE}{EB}
3) បើ Z\in (PF) នោះគេបានៈ \displaystyle \frac{\overline{CP}}{\overline{PZ}}\cdot \frac{\overline{ZF}}{\overline{FC}}=-\frac{CP}{PZ}\cdot \frac{ZF}{FC}
ហើយបើសិនជា Z\notin (PF) នោះគេបានៈ \displaystyle \frac{\overline{CP}}{\overline{PZ}}\cdot \frac{\overline{ZF}}{\overline{FC}}=\frac{CP}{PZ}\cdot \frac{ZF}{FC}
រូបភាពខ្លះៗនៃទ្រឹស្ដីបទខាងលើ
figure 1
\displaystyle -\frac{AP}{PX}\cdot \frac{XD}{DA}+\frac{BP}{PY}\cdot \frac{YE}{EB}+\frac{CP}{PZ}\cdot \frac{ZF}{FC}=2
figure 2
\displaystyle \frac{AP}{PX}\cdot \frac{XD}{DA}-\frac{BP}{PY}\cdot \frac{YE}{EB}+\frac{CP}{PZ}\cdot \frac{ZF}{FC}=2
figure 3
\displaystyle \frac{AP}{PX}\cdot \frac{XD}{DA}+\frac{BP}{PY}\cdot \frac{YE}{EB}-\frac{CP}{PZ}\cdot \frac{ZF}{FC}=2
figure 4
\displaystyle \frac{AP}{PX}\cdot \frac{XD}{DA}+\frac{BP}{PY}\cdot \frac{YE}{EB}+\frac{CP}{PZ}\cdot \frac{ZF}{FC}=2
សំរាយបញ្ជាក់
ដោយសារយើងមានច្រើនករណីដែលប្រែប្រួលទៅតាមទីតាំងនៃបន្ទាត់ (l) ដូចនេះខ្ញុំសូមលើកយកចំនុចមួយក្នុងចំណោម 4 ករណីខាងលើមកស្រាយបញ្ជាក់។ ខ្ញុំលើកយកចំនុចចុងក្រោយមកស្រាយបញ្ជាក់។
សន្មត់ថាបន្ទាត់ (l) កាត់ BC ត្រង់ K។ បន្ទាត់ KE និងបន្ទាត់ KF កាត់ AD រៀងគ្នាត្រង់ H និង I។ តាងបន្ទាត់ EF កាត់ AD ត្រង់ J
qqqqq
តាមទ្រឹស្ដីបទសមាមាត្រ cross-ratio យើងមានៈ
\displaystyle \frac{BP}{PY}\cdot \frac{PE}{EB}=\frac{DP}{PX}\cdot \frac{XH}{HD}
\displaystyle \frac{CP}{PZ}\cdot \frac{ZF}{FC}=\frac{DP}{PX}\cdot \frac{XI}{ID}
ដូចនេះយើងត្រូវស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ
\displaystyle \frac{AP}{PX}\cdot \frac{XD}{DA}+\frac{DP}{PX}\cdot \frac{XH}{HD}+\frac{DP}{PX}\cdot \frac{XI}{ID}=2
\displaystyle \Rightarrow \frac{AP}{DA}\cdot \frac{XD}{DP}+\frac{XH}{HD}+\frac{XI}{ID}=2\cdot \frac{PX}{PD}
\displaystyle \Rightarrow \frac{DA-DP}{DA}\cdot \frac{XD}{DP}+\frac{XD}{HD}+\frac{XD}{ID}=2\cdot \frac{XD}{PD}
\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{HD}+\frac{1}{ID}=\frac{1}{PD}+\frac{1}{DA}
\displaystyle \Rightarrow \frac{DP}{PI}\cdot \frac{ID}{DA}\cdot \frac{AH}{HD}=1
អនុវត្តទ្រឹស្ដីបទ Menelaus ចំពោះត្រីកោណ \Delta ACD មាន K, H, E រត់ត្រង់គ្នាយើងបានៈ
\displaystyle \frac{CK}{KD}\cdot \frac{DH}{HA}\cdot \frac{AE}{EC}=1\Rightarrow \frac{AH}{HD}= \frac{CK}{KD}\cdot  \frac{AE}{EC}
អនុវត្តទ្រឹស្ដីបទ Menelaus ចំពោះត្រីកោណ \Delta CDP មាន K, F, I រត់ត្រង់គ្នាយើងបានៈ
\displaystyle \frac{DK}{KC}\cdot \frac{CF}{FP}\cdot \frac{PI}{ID}=1\Rightarrow \frac{DI}{IP}=  \frac{DK}{KC}\cdot \frac{CF}{FP}
យើងទាញបាន \displaystyle \frac{AH}{HD}\cdot \frac{DI}{IP}=\frac{AE}{EC}\cdot \frac{CF}{FP}
អនុវត្តទ្រឹស្ដីបទ \Delta ACP យើងមាន​ E, F, J រត់ត្រង់គ្នាយើងបានៈ
\displaystyle \frac{AE}{EC}\cdot \frac{CF}{FP}\cdot \frac{PJ}{JA}=1\Rightarrow \frac{AE}{EC}\cdot \frac{CF}{FP}=\frac{AJ}{JP}=\frac{AD}{DP}
\displaystyle \Rightarrow  \frac{AH}{HD}\cdot \frac{DI}{IP}=\frac{AD}{DP}\Rightarrow \frac{DP}{PI}\cdot \frac{ID}{DA}\cdot \frac{AH}{HD}=1 ពិត។
ដូចនេះទ្រឹស្ដីបទត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។

vankhea problem 08052015

08052015

Problem 05052015

05052015_Page_2

vankhea problem 02-05-2015

vankhea problem 02-05-2015.

VanKhea problem for 01-05-2015

ss

Vankhea 2 new theorems

van khea theorem 2015_Page_5 van khea theorem 2015_Page_6 van khea theorem 2015_Page_7 van khea theorem 2015_Page_8

vankhea new theorem

van khea theorem 2015_Page_4 van khea theorem 2015_Page_3 van khea theorem 2015_Page_2 van khea theorem 2015_Page_1 rrr_Page_5 van khea theorem 2015

តាមដាន

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 2,014 other followers