ចំណេះដឹងនិងចំណេះធ្វើ !!!

05/28/2012

Problem 331 vankhea គណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ

Filed under: គណិតវិទ្យាផ្នែកវិសមភាព — van khea @ 6:23 ល្ងាច

សន្មត់ថា a, b, c>2 ជាបីចំនួនពិតវិជ្ជមានផ្ទៀងផ្ទាត់ abc=125. ស្រាយបញ្ជាក់ថា
\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{a-2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b-2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c-2}}\geq \sqrt[3]{9}
សំរាយបញ្ជាក់
វិសមភាពខាងលើសមមូលនឹងៈ
\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{\frac{a-2}{3}}}+\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{b-2}{3}}}+\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{c-2}{3}}}\geq 3
តាង \displaystyle x=\sqrt[3]{\frac{a-2}{3}};y=\sqrt[3]{\frac{b-2}{3}};z=\sqrt[3]{\frac{c-2}{3}}
យើងទាញបានៈ \displaystyle a=3x^3+2;a=3y^3+2;a=3z^3+2
ដោយ abc=125 នោះយើងបាន (3x^3+2)(3y^3+2)(3z^3+2)=125
ដូចនេះយើងត្រូវស្រាយថាៈ
\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 3
តាមវិសមភាព Mahler យើងមានៈ
\sqrt[3]{(3x^3+2)(3y^3+2)(3z^3+2)}\geq \sqrt[3]{3x^3.3y^3.3z^3}+\sqrt[3]{2.2.2}
\Rightarrow \sqrt[3]{125}\geq 3xyz+2\Rightarrow xyz\leq 1
ដូចនេះយើងត្រូវស្រាយថាចំពោះ xyz\leq 1 នោះយើងបានៈ xy+yz+zx\geq 3xyz
តាមវិសមភាព AM-GM យើងមាន xy+yz+zx\geq 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}
ម្យ៉ាងទៀតយើងមាន 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\geq 3xyz\Leftrightarrow xyz\leq 1 ពិត។
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។ សមភាពកើតមានពេល a=b=c=5

Problem 330 vankhea គណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ

Filed under: គណិតវិទ្យាផ្នែកវិសមភាព — van khea @ 5:59 ល្ងាច

សន្មត់ថា a, b, c ជារង្វាស់ជ្រុងនៃត្រីកោណមួយហើយផ្ទៀងផ្ទាត់ a^2+b^2+c^2=12 ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ
(2+a^3)(2+b^3)(2+c^3)\leq 872+16abc
សំរាយបញ្ជាក់
ពន្លាតកន្សោមយើងបានៈ
\displaystyle (2+a^3)(2+b^3)(2+c^3) =8+4(a^3+b^3+c^3)+2(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)+a^3b^3c^3
=8+4(a^3+b^3+c^3+8abc)+2(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3+a^2b^2c^2)+a^3b^3c^3-2a^2b^2c^2-32abc
\displaystyle \leq 8+\frac{44}{27}(a+b+c)^3+\frac{8}{27}(a^2+b^2+c^2)^3+abc(abc-8)(abc+6)+16abc
\displaystyle \leq 8+\frac{44}{27}(3(a^2+b^2+c^2))^{\frac{3}{2}}+\frac{8}{27}(a^2+b^2+c^2)^3+16abc
\displaystyle \leq 8+\frac{44}{27}(3.12)^{\frac{3}{2}}+\frac{8}{27}(12)^3+16abc
\leq 872+16abc
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។ សមភាពកើតមានពេល a=b=c=2
កំណត់ចំណាំៈ មានលំហាត់វិសមភាពជាច្រើនត្រូវបានបំលែងដោយឆ្លងកាត់វិសមភាពមួយចំនួនដូចខាងក្រោមៈ
\bigstar បើសិនជា a, b, c ជារង្វាស់ជ្រុងនៃត្រីកោណមួយនោះគេបានៈ
\displaystyle a^3+b^3+c^3+kabc\leq \frac{3+k}{27}(a+b+c)^3 ; \forall{k\geq \frac{39}{5}}
\bigstar បើសិនជា a, b, c ជាបីចំនួនពិតវិជ្ជមាននោះគេបានៈ
\displaystyle a^3+b^3+c^3+kabc\geq \frac{3+k}{27}(a+b+c)^3 ; \forall{k\leq \frac{15}{4}}
\bigstar បើសិនជា a, b, c ជាបីចំនួនពិតវិជ្ជមាននោះគេបានៈ
\displaystyle a^3+b^3+c^3+kabc\leq \frac{k+3}{27}(a+b+c)^3 ; \forall{k\geq 24}
\bigstar បើសិនជា a, b, c ជាបីចំនួនពិតវិជ្ជមាននោះគេបានៈ
\displaystyle a^2b+b^2c+c^2a+abc\leq \frac{4}{27}(a+b+c)^3
\bigstar បើសិនជា a, b, c ជាបីចំនួនពិតវិជ្ជមាននោះគេបានៈ
\displaystyle a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3+a^2b^2c^2\leq \frac{4}{27}(a^2+b^2+c^2)^3
\bigstar បើសិនជា a, b, c ជាបីចំនួនពិតវិជ្ជមានផ្ទៀងផ្ទាត់ a^3+b^3+c^3=3 នោះគេបានៈ
a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\leq 3
នៅមានវិសមភាពមូលដ្ឋានជាច្រើនទៀតដែលត្រូវចង់ចាំ ព្រោះថាពេលយើងធ្វើលំហាត់យើងប្រាកដជាបំលែងវិសមភាពដែលកំពុងធ្វើនោះ អោយទៅជាវិសមភាពដែលយើងធ្លាប់ស្គាល់ ហើយការបំលែងនោះប្រាកដជាចូលក្នុងវិសមភាពទាំងនេះ។
ខ្ញុំសូមលើកឡើងខ្លះៗត្រឹមនេះ សំរាប់ចំនុចដែលសេសសល់ទុកអោយមិត្តអ្នកអានជួយបំពេញបន្ថែម

05/26/2012

សៀវភៅគណិតវិទ្យា free download

Filed under: សៀវភៅ — van khea @ 3:53 ល្ងាច

Problem Books in Mathematics – Functional Equations

Chuyen-de-the-Tich-Khoi-Da-Dien-Le-Van-Vinh

Inequalities Marathon

05/25/2012

Problem 319 vankhea គណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ

Filed under: គណិតវិទ្យាផ្នែកវិសមភាព — van khea @ 8:34 ព្រឹក

សន្មត់ថា a, b, c ជារង្វាស់ជ្រុងនៃត្រីកោណមួយ ហើយផ្ទៀងផ្ទាត់ a+b+c=3 ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ
\displaystyle \frac{1}{4}(abc+3)\geq\displaystyle \frac{1}{3}(ab+bc+ca)\geq \frac{1}{5}(2abc+3)
សំរាយបញ្ជាក់
យើងត្រូវស្រាយបញ្ជាក់មួយវិសមភាពម្ដងៗ
a) ស្រាយបញ្ជាក់ថាបើ a, b, c ជារង្វាស់ជ្រុងនៃត្រីកោណមួយហើយផ្ទៀងផ្ទាត់ a+b+c=3 នោះគេបានៈ
\displaystyle \frac{1}{4}{abc+3}\geq \frac{1}{3}(ab+bc+ca)
របៀបទី1 អនុវត្តវិសមភាព AM-GM ចំពោះបីចំនួនពិតវិជ្ជមាន x, y, z យើងមានៈ
(x+y)(y+z)(z+x)\geq 8xyz
តាង a=x+y; b=y+z; c=z+x នោះយើងបានៈ
abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)
\displaystyle \Leftrightarrow abc\geq (3-2a)(3-2b)(3-2c)
\displaystyle \Rightarrow 3(abc+3)\geq 4(ab+bc+ca)
\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{4}{abc+3}\geq \frac{1}{3}(ab+bc+ca)
សមភាពកើតមានពេល a=b=c=3
របៀបទី2 ដោយ \displaystyle a+b+c=3 នោះយើងអាចតាង \displaystyle a=\frac{3x}{x+y+z}; b=\frac{3y}{x+y+z}; c=\frac{3z}{x+y+z}
ដូចនេះវិសមភាពខាងលើទៅជាៈ x^3+y^3+z^3+3xyz\geq xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x) ជាវិសមភាព Schur ដឺក្រេទី 3 ។ (មិត្តអ្នកអានពន្លាតកន្សោមរួចគណនា)
b) ស្រាយបញ្ជាក់ថាបើ a, b, c ជារង្វាស់ជ្រុងនៃត្រីកោណមួយហើយផ្ទៀងផ្ទាត់ a+b+c=3 នោះគេបានៈ
\displaystyle \frac{1}{3}(ab+bc+ca)\geq \frac{1}{5}(2abc+3)
ដោយ a, b, c ជារង្វាស់ជ្រុងនៃត្រីកោណមួយនោះយើងបានៈ
\displaystyle a^3+b^3+c^3+\frac{39}{5}abc\leq \frac{2}{5}(a+b+c)^3
ចំណាំ (a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a^2b+b^2c+c^2a)+3(ab^2+bc^2+ca^2)+6abc
ដូចនេះវិសមភាពខាងលើសមមូលនឹងៈ
a^3+b^3+c^3+9abc\leq 2ab(a+b)+2bc(b+c)+2ca(c+a)
\displaystyle \Leftrightarrow (a+b+c)^3+18abc\leq 5(a+b+c)(ab+bc+ca)
ជំនួស a+b+c=3 នោះយើងបានៈ
\displaystyle 27+18abc\leq 15(ab+bc+ca)\Rightarrow \frac{1}{3}(ab+bc+ca)\geq \frac{1}{5}(2abc+3)
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជា់។ សមភាពកើតមានពេល a=b=c

Problem 318 vankhea គណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ

Filed under: គណិតវិទ្យាផ្នែកវិសមភាព — van khea @ 8:31 ព្រឹក

គេអោយបីចំនួនពិតវិជ្ជមាន a, b, c ផ្ទៀងផ្ទាត់ a+b+c=1 ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ
\displaystyle (\frac{1}{a^2}-1)(\frac{1}{b^2}-1)(\frac{1}{c^2}-1)\geq 8^3

សៀវភៅគណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ (វ៉ាន់ ឃា)

Filed under: សៀវភៅ — van khea @ 4:44 ព្រឹក

vankhea book

Problem 317 vankhea

Filed under: គណិតវិទ្យាផ្នែកវិសមភាព — van khea @ 3:51 ព្រឹក

ស្រាយបញ្ជាក់ថាចំពោះបីចំនួនពិតវិជ្ជមាន x, y, z គេបានវិសមភាព
\displaystyle (x^2+\frac{1}{x})(y^2+\frac{1}{y})(z^2+\frac{1}{z})\geq \frac{27}{4}

« ទំព័រមុន — ទំព័រ បន្ទាប់ »

ម៉ូដ​ប្លក៖ Rubric។ ដាក់ប្លក នៅប្រព័ន្ធប្លក WordPress.com.

តាមដាន

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 40 other followers