របៀបរកមួយលេខចុងក្រោយ « ចំណេះដឹងនិងចំណេះធ្វើ !!!

05/30/2012

របៀបរកពីរលេខចុងក្រោយ

Filed under: របៀបរកមួយលេខចុងក្រោយ — van khea @ 10:21 ល្ងាច

នៅក្នុងគណិតវិទ្យាការរកលេខចុងក្រោយនៃមួយចំនួនត្រូវបានគេអនុវត្តដោយប្រើភាពចែកដាច់។ ភាពចែកដាច់ត្រូវបានគេអ្នកប្រាជ្ញគណិតវិទ្យាជំនួសដោយប្រើពាក្យ Modulo ដែលមានលក្ខណៈ $a=n\times q+r$ ដែល $q\in \mathbb{Z} \& |r|<|n|$ ហើយគេកំណត់សរសេរ $a=r(mod n)$ ។ ដោយឡែកនៅទីនេះការរកលេខចុងក្រោយគឺមានន័យថាយើងរកសំនល់នៃការចែក $a$ និង 10 ; 100; 1000 ;…
ហើយចំពោះរបៀបរកមួយលេខចុងក្រោយខ្ញុំបានបកស្រាយរួចហើយ គឺវាមានលក្ខណៈពិសេសងាយយល់ ហើយចំពោះថ្ងៃនេះខ្ញុំនឹងលើកយករបៀបរកពីរលេខចុងក្រោយមកចែកជាចំណេះដឹងដល់លោកគ្រូ អ្នកគ្រូ សិស្ស និស្សិត ព្រមទាំងអ្នកស្រាយជ្រាវគណិតវិទ្យាទាំងអស់សំរាប់ពិចារណា។
ចំណាប់ផ្ដើម
យើងសង្កេតមើលពីរលេខចុងក្រោយនៃ 102 ; 235 ; 631; 59879 គឺស្មើនឹង 02; 35; 31; 79 ព្រោះថាៈ
$102=100\times 1+02$ គឺបានន័យថា 102 ចែកនឹង 100 មានសំណល់ស្មើនឹង 02
ចំពោះចំនុចនៅសល់មានន័យដូចគ្នាដែរ។
បើសិនជាយើងតាង $b$ ជាពីរលេខចុងក្រោយនៃ $a$ នោះយើងបាន $a=b(mod 100)$
ចំពោះវិធីសាស្រ្ដ $Modulo$ ខ្ញុំគិតថាមិត្តអ្នកសិក្សាទាំងអស់ធ្លាប់ជួបនិងធ្លាប់ស្គាល់រួចមកហើយ ហើយនៅទីនេះខ្ញុំសូមមិនសរសេរអធីប្បាយបន្តែមទៅលើវិធីសាស្រ្ដ $Modulo$ ទេ គឺខ្ញុំសរសេរនូវវិធីសាស្រ្ដថ្មីមួយទៀតដែលមានលក្ខណៈដូចខាងក្រោមៈ
យើងតាងនិមិត្តសញ្ញាពីរលេខចុងក្រោយដោយ $vk_2$ ក្នុងនោះលេខ 2 តំណាអោយពីរលេខចុងក្រោយនៃចំនួនណាមួយ។
ឧទាហរណ៍ថា បើ $b$ ជាពីរលេខចុងក្រោយនៃ $a$ នោះគេកំណត់សរសេរដោយ $b=vk_2(a)$
បើតាមឧទាហរណ៍ខាងលើនោះយើងបានៈ $vk_2(102)=02 ; vk_2(235)=35; vk_2(631)=31; vk_2(59879)=79$
យើងឃើញថារបៀបសរសេរខាងលើគឺសមញ្ញ ងាយយល់។
ចំណងបញ្ហា
តើត្រូវរកពីរលេខចុងក្រោយនៃ $N=a^n$ តាមរបៀបណា?
រូបមន្តនៃការរកពីរលេខចុងក្រោយនៃ $N=a^n ; a, n\in \mathbb{N}$
សរសេរ $n=20k+r ; k, r\in \mathbb{N} ; 1\leq r\leq 20$
សរសេរ $a=100p+\Bar{xy}; x, y\in \mathbb{N} ; 0\leq x\leq 9 ; 0\leq y\leq 9$
នោះពីរលេខចុងក្រោយនៃ $N=a^n ; a, n\in \mathbb{N}$ ត្រូវបានកំណត់ដោយៈ
$vk_2(N)=vk_2\biggl(vk_2(y^{r-1})\times vk_2(10rx+y)\biggl)$ បើ $vk_1(a)=\{1; 3; 5; 7; 9\}$
$vk_2(N)=vk_2\biggl(vk_2(y^{r-1})\times vk_2(60rx+76y)\biggl)$ បើ $vk_1(a)=\{2; 4; 6; 8\}$
សំរាយបញ្ជាក់រូបមន្តៈ
តាមរូបមន្តទ្វេធា ញូតុនយើងមានៈ
$\displaystyle (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^ka^{n-k}b^k$
តាមរយៈរូបមន្តនេះយើងអាចរកពីរលេខចុងក្រោយនៃ $N=a^n$ បានដូចខាងក្រោមៈ
យើងមានៈ $\displaystyle a=100p+\bar{xy}\Rightarrow a^n=(100p+\bar{xy})^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^k(100p)^{n-k}(\bar{xy})^k$
$\displaystyle \Leftrightarrow N=a^n=C_n^0(100p)^n+C_n^1(100p)^{n-1}.\bar{xy}+$ $...+C_n^{n-1}(100p).(\bar{xy})^{n-1}+C_n^n(\bar{xy})^n$
$\Rightarrow vk_2(N)=vk_2(\bar{xy})^n$
ម្យ៉ាងទៀតយើងមានៈ $\displaystyle \bar{xy}=10x+y$
$\displaystyle \Rightarrow (\bar{xy})^n=(10x+y)^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^k(10x)^{n-k}y^k$
$\displaystyle =C_n^0(10x)^n+C_n^1(10x)^{n-1}.y+$ $...+C_n^{n-2}(10x)^2.y^{n-2}+C_n^{n-1}(10x).y^{n-1}+C_n^ny^n$
$\Rightarrow vk_2(N)=vk_2(\bar{xy})^n=vk_2(10nxy^{n-1}+y^n)$
ដោយ $n=20k+r$ នោះយើងបានៈ
$vk_2(N)=vk_2(10x(20k+r)y^{20k+r-1}+y^{20k+r})$
$\Leftrightarrow vk_2(N)=vk_2\biggl(vk_2(y^{20k})\times vk_2(y^{r-1})\times vk_2(10rx+y)\biggl)$
ម្យ៉ាងទៀត
+ បើ $vk_1(a)=y=\{1, 3, 5, 7, 9\}$ នោះយើងបានៈ $vk_2(y^{20k})=01$
$vk_2(N)=vk_2\biggl(vk_2(y^{r-1})\times vk_2(10rx+y)\biggl)$
+ បើ $vk_1(a)=y=\{2, 4, 6, 8\}$ នោះយើងបានៈ $vk_2(y^{20k})=76$
$\Rightarrow vk_2(N)=vk_2\biggl(76\times vk_2(y^{r-1})\times vk_2(10rx+y)\biggl)$
$=vk_2\biggl(vk_2(y^{r-1}\times vk_2((70+6)(10rx+y))\biggl)$ $=vk_2\biggl(vk_2(y^{r-1})\times vk_2(60rx+76y)\biggl)$
ដូចនេះរូបមន្តត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។

ថ្វីត្យិតរូបមន្តខាងលើមើលទៅដូចជាមានលក្ខណៈស្មុគស្មាញពិបាកចាំបន្តិចមែន ក៏ប៉ុន្តែវាអាចជួយអោយមិត្តអ្នកសិក្សាងាយស្រួលរកពីរលេខចុងក្រោយបានយ៉ាងលឿន។ គឺយើងគ្រាន់តែប្រើវិធីបូក ដក គុណ ចែក តាមបែបសមញ្ញក៏អាចរកឃើញពីរលេខចុងក្រោយនៃមួយចំនួនដែលមានស្វ័យគុណច្រើន។ ចំនុចសំខាន់នៃការអនុវត្តវិធីនេះគឺដំបូងយើងត្រូវពិនិត្យ លើលេខចុងក្រោយរបស់ $a$ ថាតើវាគូឬសេស។ បើសិនជាលេខគូនោះយើងត្រូវប្រើរូបមន្តមួយណា? ខាងក្រោមនេះជាឧទាហរណ៍មួយចំនួនក្នុងការអនុវត្តន៍ៈ
ឧទាហរណ៍ 1 ចូររកពីរលេខចុងក្រោយនៃ $N=12^{25}$
យើងមាន $vk_1(12)=2$ នោះពីរលេខចុងក្រោយនៃ N ត្រូវបានកំណត់តាមរូបមន្តៈ
$vk_2(N)=vk_2\biggl(vk_2(y^{r-1})\times vk_2(60rx+76y)\biggl)$
ដោយ $25=20\times 1+5\Rightarrow r=5; 12=100\times 0+12\Rightarrow x=1; y=2$
ដូចនេះពីរលេខចុងក្រោយនៃ $N=12^{25}$ កំណត់ដោយៈ
$vk_2(N)=vk_2\biggl(vk_2(2^4)\times vk_2(60.1.5+76.2)\biggl)$ $=vk_2(16\times 52)=vk_2(832)=32$
ដូចនេះពីរលេខចុងក្រោយនៃ N គឺស្មើនឹង 32
ឧទាហរណ៍ 2 រកពីរលេខចុងក្រោយនៃ $N=3333^{4444}$
យើងមានៈ $vk_1(3333)=3$ នោះពីរលេខចុងក្រោយនៃ N កំណត់តាមរូបមន្តៈ
$vk_2(N)=vk_2\biggl(vk_2(y^{r-1})\times vk_2(10rx+y)\biggl)$
ដោយ $4444=20.222+4\Rightarrow r=4 ; 3333=100.33+33\Rightarrow x=y=3$
ដូចនេះយើងបានៈ
$vk_2(N)=vk_2(vk_2(3^3).vk_2(10.4.3+3))=vk_2(27.23)=vk_2(621)=21$
ដូចនេះពីរលេខចុងក្រោយនៃ N គឺស្មើនឹង 21
ចំណាំប្រសិនបើមិត្តអ្នកអានជួបលេខដែលមានសំនល់ r ច្រើន មិត្តអ្នកសិក្សាអាចប្រើរូបមន្ត $vk_2(y^{r-1})=vk_2(y^{m+n+p+...})=vk_2(vk_2(y^m).vk_2(y^n).vk_2(y^p)....)$
លំហាត់អនុវត្ត
១) រកពីរលេខចុងក្រោយនៃ $41^{14}; 78^{36}; 92^{2012}$
២) ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ $3333^{4444}+12^{25}+3$ ចែកដាច់នឹង 4 ។
អរគុណមិត្តអ្នកសិក្សាទាំងអស់ដែលខំចំណាយពេលស្វែងយល់នូវវិធីរកពីរលេខចុងក្រោយនេះ ។

មតិ (1)

10/19/2011

របៀបរកមួយលេខចុងក្រោមសម័យថ្មី

Filed under: របៀបរកមួយលេខចុងក្រោយ — van khea @ 11:21 ព្រឹក

នេះជាការកំសាន្តនៅក្នងគណិតវិទ្យាមួយដែលតំរូវអោយយើងរកលេខចុងក្រោយនៃស្វ័យគុណ។ បើតាមខ្ញុំដឹងសំរាប់អ្នកដែលឈានជើងចូលស្រាវជ្រាវគណិតវិទ្យា អ្នកណាក៏ចេះរកដែរបើត្រឹមតែមួយលេខចុងក្រោយ។ តែដោយឡែកថ្ងៃនេះខ្ញុំនឹងលើកយកវិធីកំសាន្តមួយបែបដែលអាចគណនាមួយលេខចុងក្រោយបានលឿនបំផុត វាជាវិធីមួយដែលខ្ញុំបានតែងឡើងនៅក្នុងឆ្នាំ 2005-2006 ។
តើវាមានលក្ខណៈបែបណាទៅ? ចូរតាមដានជាមួយខ្ញុំដូចខាងក្រោមៈ
សំនួរៈ ចូររកមួយលេខចុងក្រោយនៃ $N=a^n; \forall{n, a\in \mathbb{N}}\&an\neq 0$ ។
ចូរពិនិត្យម្ដងមួយៗតាមជំហានរបស់ខ្ញុំដូចខាងក្រោមៈ
តាង $vk_i(N)$ ជា $i$ លេខចុងក្រោយនៃ $N$
ឧទាហរណ៍ $vk_1(243)=3; vk_2(9234)=34, vk_3(25486)=486$
សរសេរ $n=4k+r; k, r\in \mathbb{N}; r=\{1, 2, 3, 4\}$
បន្ទាប់មកសរសេរ $a=10p+x; p, x\in \mathbb{N}$
នោះយើងបាន $vk_1(N)=vk_1(x^r)$
សំរាយបញ្ជាក់
យើងពិនិត្យលើបណ្ដាករណីពិសេសនៃលេខមួយចំនួនដូចខាងក្រោមៈ
បើ $x=\{0, 1, 5, 6\}$ នោះមួយលេខចុងក្រោយនៃ $N$ គឺស្មើនឹង $\{0, 1, 5, 6\}$
ដូចនេះយើងបាន $vk_1(N)=vk_1(x^r)$ ពិតជានិច្ច។
បន្ទាប់មកយើងពិនិត្យករណី $x=\{2, 3, 4, 7, 8, 9\}$
យើងមាន $N=a^n=(10p+x)^n=x^n(mod10)$
ឬយើងអាចសរសេរថា $vk_1(N)=vk_1(x^n)$
ដោយ $n=4k+r; r\neq 0$ នោះយើងបានៈ
$vk_1(N)=vk_1(x^{4k+r})=vk_1(vk_1(x^{4k}).vk_1(x^r))$
ករណី $x=\{3, 7, 9\}$ នោះយើងបានៈ $vk_1(x^{4k})=1$ ព្រោះ $3^4=81, 7^4=2401, 9^4=6561$
ដូចនេះយើងទាញបានៈ $vk_1(N)=vk_1(1.vk_1(x^r))=vk_1(x^r)$ ពិតជានិច្ច។
ករណី $x=\{2, 4, 8\}$ នោះយើងបានៈ $vk_1(x^{4k})=6$ ព្រោះថា $2^4=16; 4^4=256, 8^4=4096$
ដូចនេះយើងទាញបានៈ $vk_1(N)=vk_1(6.vk_1(x^r))$
យើងពិភាក្សាម្ដងមួយករណីដូចខាងក្រោមៈ
បើ $x=2; r=\{1, 2, 3, 4\}$ នោះយើងនឹងបានលទ្ធផលដូចខាងក្រោមៈ
ចំពោះ $r=1$ នោះយើងបានៈ $vk_1(N)=vk_1(6.vk_1(2^1))=vk_1(6.2)=2=vk_1(2^1)$ ពិត
ចំពោះ $r=2$ នោះយើងបានៈ $vk_1(N)=vk_1(6.vk_1(2^2))=vk_1(6.4)=4=vk_1(2^2)$ ពិត
ចំពោះ $r=3$ នោះយើងបានៈ $vk_1(N)=vk_1(6.vk_1(2^3))=vk_1(6.8)=8=vk_1(2^3)$ ពិត
ចំពោះ $r=4$ នោះយើងបានៈ $vk_1(N)=vk_1(6.vk_1(2^4))=vk_1(6.6)=6=vk_1(2^4)$ ពិត
បើ $x=4; r=\{1, 2, 3, 4\}$ នោះយើងនឹងបានលទ្ធផលដូចខាងក្រោមៈ
ចំពោះ $r=1$ នោះយើងបានៈ $vk_1(N)=vk_1(6.vk_1(4^1))=vk_1(6.4)=4=vk_1(4^1)$ ពិត
ចំពោះ $r=2$ នោះយើងបានៈ $vk_1(N)=vk_1(6.vk_1(4^2))=vk_1(6.6)=6=vk_1(4^2)$ ពិត
ចំពោះ $r=3$ នោះយើងបានៈ $vk_1(N)=vk_1(6.vk_1(4^3))=vk_1(6.4)=4=vk_1(4^3)$ ពិត
ចំពោះ $r=4$ នោះយើងបានៈ $vk_1(N)=vk_1(6.vk_1(4^4))=vk_1(6.6)=6=vk_1(4^4)$ ពិត
បើ $x=8; r=\{1, 2, 3, 4\}$ នោះយើងនឹងបានលទ្ធផលដូចខាងក្រោមៈ
ចំពោះ $r=1$ នោះយើងបានៈ $vk_1(N)=vk_1(6.vk_1(8^1))=vk_1(6.8)=8=vk_1(8^1)$ ពិត
ចំពោះ $r=2$ នោះយើងបានៈ $vk_1(N)=vk_1(6.vk_1(8^2))=vk_1(6.4)=4=vk_1(8^2)$ ពិត
ចំពោះ $r=3$ នោះយើងបានៈ $vk_1(N)=vk_1(6.vk_1(8^3))=vk_1(6.2)=2=vk_1(8^3)$ ពិត
ចំពោះ $r=4$ នោះយើងបានៈ $vk_1(N)=vk_1(6.vk_1(8^4))=vk_1(6.6)=6=vk_1(8^4)$ ពិត

ដូចនេះយើងឃើញថាសំនើរត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។ ដូចនេះយើងកំនត់វិធីរកមួយលេខចុងក្រោយដោយខ្លីគឺៈ
$vk_1(N)=vk_1(x^r)$ ដែល $n=4k+r; k, r\in \mathbb{N}; r=\{1, 2, 3, 4\}$ និង $a=10p+x; p, x\in \mathbb{N}$

ឧទាហរណ៍១ ចូររកមួយលេខចុងក្រោយនៃ $18^{12}$
ចំលើយ
យើងមាន $12=4.2+4\Rightarrow r=4$ ហើយ $18=10.1+8\Rightarrow x=8$
ដូចនេះយើងបាន $vk_1(18^{12})=vk_1(8^4)=vk_1(4096)=6$
ឧទាហរណ៍២ រកមួយលេខចុងក្រោយនៃ $33^{22}$
ចំលើយ
យើងមាន $22=4.5+2\Rightarrow r=2$ ហើយ $33=10.3+3\Rightarrow x=3$
ដូចនេះយើងបានៈ $vk_1(33^{22})=vk_1(3^2)=9$
សំរាប់វិធីរកពីរលេខនិងបីលេខចុងក្រោយតាមសម័យថ្មីសូមលើកយកមកចែកជូនតែត្រឹមនេះ។ មិត្តអ្នកអានអាចដោនឡូដសៀវភៅខាងក្រោមៈ
របៀបរកលេខចុងក្រោយតាមវ៉ាន់ ឃា

មតិ (11)

	ប្រជុំវិសមភាព \| MATH… លើ solution problem 314
	ប្រជុំវិសមភាព \| MATH… លើ Problem 298 គណិតវិទ្យាសំរ…
	ប្រជុំវិសមភាព \| MATH… លើ Problem 299 van khea គណិត…
	van khea លើ របៀបរកពីរលេខចុងក្រោយ
	van khea លើ solution problem 314
	van khea លើ VK MaTh 2011: សៀវភៅគណិតវិ…
	ចិនរ៉ាយ លើ VK MaTh 2011: សៀវភៅគណិតវិ…
	van khea លើ សៀវភៅគណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ…
	van khea លើ សៀវភៅគណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ…
	ចិនរ៉ាយ លើ សៀវភៅគណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ…

ចំណេះដឹងនិងចំណេះធ្វើ !!!

05/30/2012

របៀបរកពីរលេខចុងក្រោយ

10/19/2011

របៀបរកមួយលេខចុងក្រោមសម័យថ្មី

ផែនទីប្រទេសកម្ពុជា

មេតា

ទំព័រ

បណ្ណសារ

មតិថ្មីៗ

ចំណាត់ក្រុម

Blogroll

អត្ថបទកន្លងមក

Follow “ចំណេះដឹងនិងចំណេះធ្វើ !!!”

ខែមិថុនា 2012
ច.	អ.	ព.	ព្រ.	សុ.	សៅ.	អាទិ.
« ឧសភា
				1	2	3
4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17
18	19	20	21	22	23	24
25	26	27	28	29	30