ចំណេះដឹងនិងចំណេះធ្វើ !!!

06/02/2012

Problem 299 van khea គណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ

Filed under: គណិតវិទ្យាផ្នែកវិសមភាព — van khea @ 2:19 ព្រឹក

(van khea) ស្រាយបញ្ជាក់ថាចំពោះបីចំនួនពិតវិជ្ជមាន a, b, c គេបានៈ
\displaystyle (\frac{a}{b}+\frac{b}{a})(b^2-ca)^2+(\frac{b}{c}+\frac{c}{b})(a^2-bc)^2+(\frac{c}{a}+\frac{a}{c})(c^2-ab)^2\geq (a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2

05/30/2012

Problem 299 គណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ

Filed under: គណិតវិទ្យាផ្នែកវិសមភាព — van khea @ 8:16 ល្ងាច

(vankhea) សន្មត់ថា a, b, c>0 ហើយ a^2+b^2+c^2=3 ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ

(a^3b^3+3c^3)(b^3c^3+3a^3)(c^3a^3+3b^3)\geq 64a^3b^3c^3

Problem 298 គណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ

Filed under: គណិតវិទ្យាផ្នែកវិសមភាព — van khea @ 7:40 ល្ងាច

(vankhea) គេអោយបីចំនួនពិតវិជ្ជមាន a, b, c ផ្ទៀងផ្ទាត់ a^2+b^2+c^2=3 ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ
\displaystyle (3+a^3)(3+b^3)(3+c^3)\geq \frac{64}{27}(a+b+c)^3

solution problem 314

Filed under: គណិតវិទ្យាផ្នែកវិសមភាព — van khea @ 4:32 ល្ងាច

(vankhea) គេអោយ a, b, c, d ជាចំនួនពិតវិជ្ជមាន។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ
(3+a^3)(3+b^3)(3+c^3)(3+d^3)\geq 4(a+b+c+d)^3
ចំលើយ
តាង \displaystyle a=x^{\frac{2}{3}}; b=y^{\frac{2}{3}};c=z^{\frac{2}{3}};d=t^{\frac{2}{3}}
នោះយើងទាញបានៈ
(3+a^3)(3+b^3)(3+c^3)(3+d^3)=(3+x^2)(3+y^2)(3+z^2)(3+t^2)
យើងមានៈ
(3+x^2)(3+y^2)=9+3(x^2+y^2)+x^2y^2=1+x^2y^2+8+3(x^2+y^2) \geq 2xy+8+3(x^2+y^2) \displaystyle =8+(x+y)^2+2(x^2+y^2)
\displaystyle \Rightarrow (3+x^2)(3+y^2)\geq 8+2(x+y)^2=8(1+(\frac{x+y}{2})^2)
ដូចគ្នាដែរយើងទាញបានៈ \displaystyle (3+z^2)(3+t^2)\geq 8+2(z+t)^2=8(1+(\frac{z+t}{2})^2)
\displaystyle \Rightarrow (3+x^2)(3+y^2)(3+z^2)(3+t^2)\geq 64(1+(\frac{x+y}{2})^2)(1+(\frac{z+t}{2})^2)=64(1+u^2)(1+v^2)
ក្នុងនោះ \displaystyle u=\frac{x+y}{2} ; v=\frac{z+t}{2}
យើងមាន (1+u^2)(1+v^2)=1+u^2v^2+u^2+v^2\geq 2uv+u^2+v^2=(u+v)^2
\displaystyle \Rightarrow (3+x^2)(3+y^2)(3+z^2)(3+t^2)\geq 64\biggl(\frac{x+y}{2}+\frac{z+t}{2}\biggl)^2\displaystyle =64\biggl(\frac{x+y+z+t}{2}\biggl)^2
ម្យ៉ាងទៀតយើងមានៈ \displaystyle x+y+z+t=a^{\frac{3}{2}}+b^{\frac{3}{2}}+c^{\frac{3}{2}}+d^{\frac{3}{2}}\displaystyle \geq 4\biggl(\frac{a+b+c+d}{4}\biggl)^{\frac{3}{2}}
\Rightarrow (3+a^3)(3+b^3)(3+c^3)(3+d^3)\geq 4(a+b+c+d)^3
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។​ សមភាពកើតមានពេល a=b=c=d=1

បើតាមលំនាំខាងលើតើមិត្តអ្នកសិក្សាសង្កេតឃើញអ្វីដែលប្លែកទេ? ការបំភាន់ភ្នែករវាងដឺក្រេក៏ជាសិល្បៈមួយក្នងគណិតវិទ្យាដែរ ហើយយើងក៏មិនដឹងថាពេលណាគេបំភាន់ភ្នែកយើងតាមរៀបនេះដែរ ដូចនេះខ្ញុំអាចឆ្លើយមួយយ៉ាងខ្លីថាមានតែអ្នកមានបទពិសោធន៍ទេ ទើបដឹងថាជំហាននៃលំហាត់នីមួយត្រូវដើរតាមផ្លូវណា? ការកំណត់ពីរបៀបស្រាយបញ្ជាក់វាមិនមែនដាច់ខាតនោះទេ យើងអាចរកវិធីថ្មីៗមកស្រាយលំហាត់ដែលមានស្រាប់ នេះក៏ជាស្នាដៃមួយដែលបណ្ដាអ្នកសិក្សាទាំងឡាយតែងកោតសរសើ។
ឥឡូវឆ្លងកាត់បទពិសោធន៍ខាងលើ តើមិត្តអ្នកអានអាចមានវិធីស្រាយវិសមភាពខាងក្រោមនេះទេ???
ចំពោះបីចំនួនពិតវិជ្ជមាន a, b, c យើងបានៈ \displaystyle (3+a^3)(3+b^3)(3+c^3)\geq \frac{64}{27}(a+b+c)^3 ???
ការពិតលំហាត់ខាងលើនេះខ្ញុំក៏មិនទាន់មានវិធីស្រាយបញ្ជាក់ដែរ។ ហើយវិសមភាពខាងលើខ្ញុំក៏មិនដឹងថាពិតឬមួយមិនពិតនោះដែរ នេះជាសំណើរមួយសំរាប់អ្នកសិក្សាស្វែងយល់ និងត្រិះរិះ ខ្ញុំសង្ឃឹមថាខ្ញុំអាចទទួលបានយោបល់ខ្លះៗពីមិត្តអ្នកសិក្សាទាំងអស់គ្នា។

05/28/2012

Problem 332 vankhea គណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ

Filed under: គណិតវិទ្យាផ្នែកវិសមភាព — van khea @ 7:11 ល្ងាច

សន្មត់ថា a, b, c ជារង្វាស់ជ្រុងនៃត្រីកោណមួយដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ abc=1 ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ
\displaystyle (3+a^3)(3+b^3)(3+c^3)\leq 64\biggl(\frac{a+b+c}{3}\biggl)^9
សំរាយបញ្ជាក់
អនុវត្តវិសមភាព AM-GM យើងមានៈ
\displaystyle (3+a^3)(3+b^3)(3+c^3)\leq \biggl(\frac{a^3+b^3+c^3+9}{3}\biggl)^3\displaystyle =\biggl(\frac{a^3+b^3+c^3+9abc}{3}\biggl)^3
ដោយ a, b, c ជារង្វាស់ជ្រុងនៃត្រីកោណមួយនោះយើងបានៈ
\displaystyle a^3+b^3+c^3+kabc\leq \frac{k+3}{27}(a+b+c)^3 ; \forall{k\geq \frac{39}{5}}
យក k=9 នោះយើងបាន
\displaystyle a^3+b^3+c^3+9abc\leq \frac{4}{9}(a+b+c)^3
\displaystyle \Rightarrow (3+a^3)(3+b^3)(3+c^3)\leq \biggl(\frac{\frac{4}{9}(a+b+c)^3}{3}\biggl)^3\displaystyle =64\biggl(\frac{a+b+c}{3}\biggl)^9
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។ សមភាពកើតមានពេល a=b=c=1 ។
ចំនុចសំខាន់នៃលំហាត់នេះគឺត្រូវស្រាយវិសមភាព \displaystyle a^3+b^3+c^3+kabc\leq \frac{k+3}{27}(a+b+c)^3 ; \forall{k\geq \frac{39}{5}} ដោយរបៀបណា???
យក \displaystyle k=\frac{39}{5} នោះវិសមភាពដែលត្រូវស្រាយគឺ
\displaystyle a^3+b^3+c^3+\frac{39}{5}abc\leq \frac{2}{5}(a+b+c)^3 (1)
ដោយ a, b, c ជារង្វាស់ជ្រុងនៃត្រីកោណមួយនោះយើងបានៈ
\displaystyle x=\frac{b+c-a}{2}>0; y=\frac{c+a-b}{2}>0; z=\frac{a+b-c}{2}>0
ទាញរកតំលៃ a, b, c យើងបានៈ a=x+y; b=y+z; c=z+x
ជំនួសចូលវិសមភាព (1) យើងបានៈ
\displaystyle (x+y)^3+(y+z)^3+(z+x)^3+\frac{39}{5}(x+y)(y+z)(z+x)\displaystyle \leq \frac{2}{5}(2(x+y+z))^3
\displaystyle \Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+3xyz\geq xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x) ពិតជានិច្ចព្រោះវាជាវិសមភាព Schur ដឺក្រេទី ៣ ។
សមភាពកើតមានពេល a=b=c

ចំនុចសំខាន់ៗដែលត្រូវចងចាំនិងចំនុចដែលប្អូនៗជំនាន់ក្រោយត្រូវបន្តស្រាវជ្រាវរកនូវចំនុចមិនទាន់មានៈ

ចំពោះបីចំនួនពិតវិជ្ជមាន a, b, c នោះយើងបានវិសមភាពខាងក្រោមៈ
វិសមភាពដែលមានហើយ
\bigstar \displaystyle a^3+b^3+c^3+kabc\geq \frac{k+3}{27}(a+b+c)^3 ; \forall{k\leq \frac{15}{4}}
\bigstar \displaystyle a^3+b^3+c^3+kabc\leq \frac{k+3}{27}(a+b+c)^3 ; \forall{k\geq 24}
ចុះបើសិនតំលៃ \displaystyle \frac{15}{4}<k<24 វិញ??
តើគ្រប់តំលៃ \displaystyle k\geq \frac{15}{4} វិសមភាព \displaystyle a^3+b^3+c^3+kabc\leq \frac{k+3}{27}(a+b+c)^3 សុទ្ទតែពិតឬយ៉ាងណា?
ដើម្បីអោយកាន់តែច្បាស់លើចំងល់មួយនេះ ខ្ញុំលើកយកចំនុចមួយដែលមានលទ្ទផលកាន់តែជាក់ស្ដែងទៀតគឺ បើសិនជា a, b, c ជារង្វាស់ជ្រុងនៃត្រីកោណមួយនោះយើងបានវិសមភាព\displaystyle a^3+b^3+c^3+kabc\leq \frac{k+3}{27}(a+b+c)^3 ; \forall{k\geq \frac{39}{5}}
សំនួរសួរទៅមិត្តអ្នកអានថាតើតំលៃ k ល្អបំផុតដែលធ្វើអោយវិសមភាព\displaystyle a^3+b^3+c^3+kabc\leq \frac{k+3}{27}(a+b+c)^3 ស្មើនឹងប៉ុន្មាន???

ដូចនេះចំនុចមួយនេះខ្ញុំទុកនាទីអោយមិត្តអ្នកអានធ្វើការស្រាវជ្រាវបន្ត ។

Problem 331 vankhea គណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ

Filed under: គណិតវិទ្យាផ្នែកវិសមភាព — van khea @ 6:23 ល្ងាច

សន្មត់ថា a, b, c>2 ជាបីចំនួនពិតវិជ្ជមានផ្ទៀងផ្ទាត់ abc=125. ស្រាយបញ្ជាក់ថា
\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{a-2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b-2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c-2}}\geq \sqrt[3]{9}
សំរាយបញ្ជាក់
វិសមភាពខាងលើសមមូលនឹងៈ
\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{\frac{a-2}{3}}}+\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{b-2}{3}}}+\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{c-2}{3}}}\geq 3
តាង \displaystyle x=\sqrt[3]{\frac{a-2}{3}};y=\sqrt[3]{\frac{b-2}{3}};z=\sqrt[3]{\frac{c-2}{3}}
យើងទាញបានៈ \displaystyle a=3x^3+2;a=3y^3+2;a=3z^3+2
ដោយ abc=125 នោះយើងបាន (3x^3+2)(3y^3+2)(3z^3+2)=125
ដូចនេះយើងត្រូវស្រាយថាៈ
\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 3
តាមវិសមភាព Mahler យើងមានៈ
\sqrt[3]{(3x^3+2)(3y^3+2)(3z^3+2)}\geq \sqrt[3]{3x^3.3y^3.3z^3}+\sqrt[3]{2.2.2}
\Rightarrow \sqrt[3]{125}\geq 3xyz+2\Rightarrow xyz\leq 1
ដូចនេះយើងត្រូវស្រាយថាចំពោះ xyz\leq 1 នោះយើងបានៈ xy+yz+zx\geq 3xyz
តាមវិសមភាព AM-GM យើងមាន xy+yz+zx\geq 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}
ម្យ៉ាងទៀតយើងមាន 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\geq 3xyz\Leftrightarrow xyz\leq 1 ពិត។
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។ សមភាពកើតមានពេល a=b=c=5

Problem 330 vankhea គណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ

Filed under: គណិតវិទ្យាផ្នែកវិសមភាព — van khea @ 5:59 ល្ងាច

សន្មត់ថា a, b, c ជារង្វាស់ជ្រុងនៃត្រីកោណមួយហើយផ្ទៀងផ្ទាត់ a^2+b^2+c^2=12 ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ
(2+a^3)(2+b^3)(2+c^3)\leq 872+16abc
សំរាយបញ្ជាក់
ពន្លាតកន្សោមយើងបានៈ
\displaystyle (2+a^3)(2+b^3)(2+c^3) =8+4(a^3+b^3+c^3)+2(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)+a^3b^3c^3
=8+4(a^3+b^3+c^3+8abc)+2(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3+a^2b^2c^2)+a^3b^3c^3-2a^2b^2c^2-32abc
\displaystyle \leq 8+\frac{44}{27}(a+b+c)^3+\frac{8}{27}(a^2+b^2+c^2)^3+abc(abc-8)(abc+6)+16abc
\displaystyle \leq 8+\frac{44}{27}(3(a^2+b^2+c^2))^{\frac{3}{2}}+\frac{8}{27}(a^2+b^2+c^2)^3+16abc
\displaystyle \leq 8+\frac{44}{27}(3.12)^{\frac{3}{2}}+\frac{8}{27}(12)^3+16abc
\leq 872+16abc
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។ សមភាពកើតមានពេល a=b=c=2
កំណត់ចំណាំៈ មានលំហាត់វិសមភាពជាច្រើនត្រូវបានបំលែងដោយឆ្លងកាត់វិសមភាពមួយចំនួនដូចខាងក្រោមៈ
\bigstar បើសិនជា a, b, c ជារង្វាស់ជ្រុងនៃត្រីកោណមួយនោះគេបានៈ
\displaystyle a^3+b^3+c^3+kabc\leq \frac{3+k}{27}(a+b+c)^3 ; \forall{k\geq \frac{39}{5}}
\bigstar បើសិនជា a, b, c ជាបីចំនួនពិតវិជ្ជមាននោះគេបានៈ
\displaystyle a^3+b^3+c^3+kabc\geq \frac{3+k}{27}(a+b+c)^3 ; \forall{k\leq \frac{15}{4}}
\bigstar បើសិនជា a, b, c ជាបីចំនួនពិតវិជ្ជមាននោះគេបានៈ
\displaystyle a^3+b^3+c^3+kabc\leq \frac{k+3}{27}(a+b+c)^3 ; \forall{k\geq 24}
\bigstar បើសិនជា a, b, c ជាបីចំនួនពិតវិជ្ជមាននោះគេបានៈ
\displaystyle a^2b+b^2c+c^2a+abc\leq \frac{4}{27}(a+b+c)^3
\bigstar បើសិនជា a, b, c ជាបីចំនួនពិតវិជ្ជមាននោះគេបានៈ
\displaystyle a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3+a^2b^2c^2\leq \frac{4}{27}(a^2+b^2+c^2)^3
\bigstar បើសិនជា a, b, c ជាបីចំនួនពិតវិជ្ជមានផ្ទៀងផ្ទាត់ a^3+b^3+c^3=3 នោះគេបានៈ
a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\leq 3
នៅមានវិសមភាពមូលដ្ឋានជាច្រើនទៀតដែលត្រូវចង់ចាំ ព្រោះថាពេលយើងធ្វើលំហាត់យើងប្រាកដជាបំលែងវិសមភាពដែលកំពុងធ្វើនោះ អោយទៅជាវិសមភាពដែលយើងធ្លាប់ស្គាល់ ហើយការបំលែងនោះប្រាកដជាចូលក្នុងវិសមភាពទាំងនេះ។
ខ្ញុំសូមលើកឡើងខ្លះៗត្រឹមនេះ សំរាប់ចំនុចដែលសេសសល់ទុកអោយមិត្តអ្នកអានជួយបំពេញបន្ថែម

ទំព័រ បន្ទាប់ »

ម៉ូដ​ប្លក៖ Rubric។ ដាក់ប្លក នៅប្រព័ន្ធប្លក WordPress.com.

តាមដាន

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 40 other followers