ចំណេះដឹងនិងចំណេះធ្វើ !!!

12/07/2011

Problem 309 van khea

Filed under: គណិតវិទ្យាផ្នែកវិសមភាព — van khea @ 5:05 ល្ងាច

គេអោយបីចំនួនពិតវិជ្ជមាន a, b, c ផ្ទៀងផ្ទាត់ៈ a+b+c=3 ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ
\sqrt{1+a^4}+\sqrt{1+b^4}+\sqrt{1+c^4}\leq \sqrt{2}(a^2+b^2+c^2)
សំរាយបញ្ជាក់
ជាដំបូងយើងត្រូវស្រាយថា \sqrt{1+a^4}\leq \sqrt{2}(a^2-a+1)
\displaystyle \Leftrightarrow (a^2-a+1)^2\geq \frac{1}{2}(1+a^4)
គុណអង្គទាំងពីរនឹង (1+a)^2 នោះយើងបានៈ
\displaystyle (a^2-a+1)^2(1+a)^2\geq \frac{1}{2}(1+a^4)(1+a)^2
\displaystyle \Leftrightarrow (1+a^3)^2 \geq \frac{1}{2}(1+a^4)(1+a)^2
\displaystyle \Leftrightarrow a^6+1+2a^3\geq \frac{1}{2}(1+a^4)(1+a)^2
\displaystyle \Rightarrow a^6+1+a^2(1+a)^2\geq a^2(1+a^2)+\frac{1}{2}(1+a^4)(1+a)^2
ចែកអង្គទាំងពីរនឹង \displaystyle \frac{(1+a)^6}{8} នោះយើងបានៈ
\displaystyle \frac{8a^6}{(1+a)^6}+\frac{8}{(1+a)^6}+\frac{8a^2}{(1+a)^4}\geq \frac{8a^2(1+a^2)}{(1+a)^6}+\frac{4(1+a^4)}{(1+a)^4}
តាង \displaystyle x=\frac{2a^2}{(1+a)^2}; y=\frac{2}{(1+a)^2} នោះវិសមភាពខាងលើសមមូលនឹងៈ
x^3+y^3+2xy\geq xy(x+y)+x^2+y^2
x^3-x^2+y^3-y^3+2xy-xy(x+y)\geq 0
x^2(x-1)+y^2(y-1)-xy(x-1)-xy(y-1)\geq 0
x(x-1)(x-y)+y(y-1)(y-x)\geq 0
(x-1)^2(x+y-1)\geq 0
ដោយ \displaystyle \frac{1+a^2}{2}\geq (\frac{1+a}{2})^2\Leftrightarrow \frac{2a^2}{(1+a)^2}+\frac{2}{(1+a)^2}\geq 1\Rightarrow x+y\geq 1
ដូចនេះយើងបានៈ (x-1)^2(x+y-1)\geq 0 ពិតជានិច្ច។
ដូចគ្នាដែរយើងបាន \sqrt{1+b^4}\leq \sqrt{2}(b^2-b+1) និង \sqrt{1+c^4}\leq \sqrt{2}(c^2-c+1)
បូកអង្គនិងអង្គនៃវិសមភាពខាងលើយើងបានៈ
\sqrt{1+a^4}+\sqrt{1+b^4}+\sqrt{1+c^4}\leq \sqrt{2}(a^2+b^2+c^2+3-a-b-c)
ដូចនេះយើងបាន \sqrt{1+a^4}+\sqrt{1+b^4}+\sqrt{1+c^4}\leq \sqrt{2}(a^2+b^2+c^2) ពិតជានិច្ច។
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។ សមភាពកើតមានពេល a=b=c=1

ម៉ូដ​ប្លក៖ Rubric។ ដាក់ប្លក នៅប្រព័ន្ធប្លក WordPress.com.

តាមដាន

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 40 other followers