ចំណេះដឹងនិងចំណេះធ្វើ !!!

11/05/2011

ចំលើយ Problem 294 Van Khea

Filed under: គណិតវិទ្យាផ្នែកវិសមភាព — van khea @ 8:00 ព្រឹក

នេះជាប្រភេទលំហាត់វិមសភាពមួយដែលខ្ញុំបានតែងជាយូរថ្ងៃយូរខែណាស់មកហើយ តែខ្ញុំនៅមិនទាន់បានសរសេរចំលើយដាក់ផ្សាយទេ។
ដូចនេះថ្ងៃនេះខ្ញុំលើកយកលំហាត់មួយនេះមកស្រាយបញ្ជាក់ជាចំណេះដឹងសំរាប់ប្រិយមិត្តទាំងអស់ :D
ប្រធានលំហាត់ៈ
គេអោយបីចំនួនពិតវិជ្ជមាន a, b, c ផ្ទៀងផ្ទាត់ a^2+b^2+c^2=1 ។ ស្រាយបញ្ជាក់ៈ
\displaystyle \frac{81}{a+b+c}-\frac{4}{abc}\leq 15\sqrt{3}
សំរាយបញ្ជាក់ៈ
វិសមភាពខាងលើសមមូលនឹងៈ
\displaystyle 15\sqrt{3}+\frac{4}{abc}\geq \frac{81}{a+b+c}
តាមវិសមភាព Cauchy-Schwarz យើងមានៈ
\displaystyle \frac{1}{\frac{1}{3\sqrt{3}}}+\frac{1}{\frac{1}{3\sqrt{3}}}+\frac{1}{\frac{1}{3\sqrt{3}}}+\frac{1}{\frac{1}{3\sqrt{3}}}+\frac{1}{\frac{1}{3\sqrt{3}}}+\frac{1}{abc}+\frac{1}{abc}+\frac{1}{abc}+\frac{1}{abc}\displaystyle \geq \frac{(1+1+1+1+1+1+1+1+1)^2}{\frac{5}{3\sqrt{3}}+4abc}
\displaystyle \Leftrightarrow 15\sqrt{3}+\frac{4}{abc}\geq \frac{81}{\frac{5}{3\sqrt{3}}+4abc}
យើងនឹងស្រាយថាៈ
\displaystyle \frac{81}{\frac{5}{3\sqrt{3}}+4abc}\geq \frac{81}{a+b+c}
\displaystyle \Rightarrow a+b+c-4abc\geq \frac{5}{3\sqrt{3}}
តាម Problem 254VanKhea ចំពោះចំនួនពិតវិជ្ជមាន a, b, c យើងមានៈ
(a^2+b^2+c^2)^2+3abc(a+b+c)\leq 3(a^2+b^2)ab+3(b^2+c^2)bc+3(c^2+a^2)ca
ដោយ a^2+b^2+c^2=1 នោះវិសមភាពខាងលើសមមូលនឹងៈ
1+3abc(a+b+c)\leq 3(1-c^2)ab+3(1-a^2)bc+3(1-b^2)ca
\displaystyle \Rightarrow ab+bc+ca\geq 2abc(a+b+c)+\frac{1}{3}
ម្យ៉ាងទៀតចំពោះចំនួនពិតវិជ្ជមាន a, b, c យើងមានៈ
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=1+2(ab+bc+ca)
\displaystyle \Rightarrow ab+bc+ca=\frac{1}{2}(a+b+c)^2-\frac{1}{2}
ដូចនេះយើងទាញបានៈ
\displaystyle \frac{1}{2}(a+b+c)^2-\frac{1}{2}\geq 2abc(a+b+c)+\frac{1}{3}
\displaystyle \Leftrightarrow \frac{1}{2}(a+b+c)^2-2abc(a+b+c)\geq \frac{5}{6}
\displaystyle \Rightarrow (a+b+c)(a+b+c-4abc)\geq \frac{5}{3}
\displaystyle \Rightarrow a+b+c-4abc\geq \frac{5}{3(a+b+c)}
ម្យ៉ាងទៀតតាមវិសមភាព Cauchy-Schwarz ចំពោះចំនួនពិតវិជ្ជមាន a, b, c យើងមានៈ
(a+b+c)^2\leq (1^2+1^2+1^2)(a^2+b^2+c^2)=3(a^2+b^2+c^2)=3
\displaystyle \Rightarrow a+b+c\leq \sqrt{3}
\displaystyle \Rightarrow a+b+c-4abc\geq \frac{5}{3\sqrt{3}} ពិត។
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។ សមភាពកើតមានពេល \displaystyle a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}

មតិ​មួយ​ »

  1. បងខ្ញុំលេខទូរស័ព្ទផង ណាបងវ៉ាន់ឃា

    មតិ ដោយ chhim tykoy — 11/10/2011 @ 11:36 ព្រឹក | ឆ្លើយតប


បំរែបំរួល បញ្ជាប់ RSS សំរាប់វិចារ លើប្រកាសនេះ។ តាមដានត្រលប់ URI

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

Gravatar
ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ ( Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបភាព​ពី Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ ( Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ ( Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

បោះបង់

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

ម៉ូដ​ប្លក៖ Rubric។ ដាក់ប្លក នៅប្រព័ន្ធប្លក WordPress.com.

តាមដាន

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 40 other followers