ចំណេះដឹងនិងចំណេះធ្វើ !!!

11/25/2011

Problem 305 Van Khea

Filed under: គណិតវិទ្យាផ្នែកវិសមភាព — van khea @ 9:54 ល្ងាច

គេអោយបីចំនួនពិតវិជ្ជមាន a, b, c ផ្ទៀងផ្ទាត់ a^2, b^2, c^2 ជារង្វាស់ជ្រុងនៃត្រីកោណមួយហើយ a^2+b^2+c^2=3 ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ
3(a+b+c)\geq 4abc+5
សំរាយបញ្ជាក់
អនុវត្តន៍វិសមភាព 254VanKhea យើងមានៈ
(a^2+b^2+c^2)^2+3abc(a+b+c)\leq 3ab(a^2+b^2)+3bc(b^2+c^2)+3ca(c^2+a^2)
ដោយ a^2+b^2+c^2=3 នោះយើងបានៈ
9+3abc(a+b+c)\leq 3ab(3-c^2)+3bc(3-a^2)+3ca(3-b^2)
\displaystyle \Leftrightarrow ab+bc+ca\geq \frac{2}{3}abc(a+b+c)+1
ម្យ៉ាងទៀតយើងមានៈ
\displaystyle ab+bc+ca=\frac{1}{2}(a+b+c)^2-\frac{3}{2} នោះយើងបានៈ
\displaystyle \frac{1}{2}(a+b+c)^2-\frac{3}{2}\geq \frac{2}{3}abc(a+b+c)+1
\displaystyle \Rightarrow (a+b+c)^2\geq \frac{4}{3}abc(a+b+c)+5
ចែកអង្គទាំងពីរនឹង a+b+c យើងបានៈ
\displaystyle a+b+c\geq \frac{4}{3}abc+\frac{5}{a+b+c}
តាមវិសមភាព Cauchy-Schwarz យើងមានៈ
(a+b+c)^2\leq 3(a^2+b^2+c^2)=9
\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{a+b+c}\geq \frac{1}{3}
នោះយើងទាញបានៈ
\displaystyle a+b+c\geq \frac{4}{3}abc+\frac{5}{3}
\Rightarrow 3(a+b+c)\geq 4abc+5 ពិត។
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។ សមភាពកើតមានពេល a=b=c=1

11/17/2011

កំណែលំហាត់ 280 Van Khea

Filed under: គណិតវិទ្យាផ្នែកវិសមភាព — van khea @ 10:01 ព្រឹក

ប្រធានលំហាត់ៈ ឧបមាថាសមីការ t^3-at^2+bt-c=0 មានឬសបីសុទ្ធតែជាចំនួនពិតវិជ្ជមាន។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ
a^4+10b^2+6ca\leq 7a^2b
សំរាយបញ្ជាក់ៈ
ឧបមាថា x, y, z ជាឬសនៃសមីការខាងលើនោះយើងបាន x>0, y>0, z>0
តាមទ្រឹស្ដីបទ វ្យែត យើងមានៈ
x+y+z=a
xy+yz+zx=b
xyz=c
ជំនួសចូលទៅក្នុងវិសមភាពខាងលើយើងបានៈ
(x+y+z)^4+10(xy+yz+zx)^2+6xyz(x+y+z)\leq 7(x+y+z)^2(xy+yz+zx)
យើងមានៈ
(x+y+z)^4=(x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx))^2
=(x^2+y^2+z^2)^2+4(x^2+y^2+z^2)(xy+yz+zx)+4(xy+yz+zx)^2
(x+y+z)^2(xy+yz+zx)=(x^2+y^2+z^2)(xy+yz+zx)+2(xy+yz+zx)^2
ដូចនេះយើងបានៈ
(x^2+y^2+z^2)^2+6xyz(x+y+z)\leq 3(x^2+y^2+z^2)(xy+yz+zx)
ពន្លាតកន្សោមៈ (x^2+y^2+z^2)(xy+yz+zx)=xy(x^2+y^2)+yz(y^2+z^2)+zx(z^2+x^2)+xyz(x+y+z)
នោះវិសមភាពខាងលើសមមូលនឹងៈ
(x^2+y^2+z^2)^2+3xyz(x+y+z)\leq 3xy(x^2+y^2)+3yz(y^2+z^2)+3zx(z^2+x^2)
ពិតជានិច្ចតាម Problem 254 VanKhea
ដូចនេះសំណើរត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។

11/11/2011

Math book free download

Filed under: សៀវភៅ — van khea @ 5:27 ល្ងាច

Inequalities Through Problems

GeometryNotes020402

11/10/2011

វ៉ាន់ ឃា សូមស្វាគមន៍ថ្ងៃពិសេស (ថ្ងៃទី 11 ខែ 11 ឆ្នាំ 2011)

Filed under: ផ្សេងៗ — van khea @ 3:09 ល្ងាច

នេះជាទីបីហើយនៃប្រវត្តិសាស្រ្ដពេលវេលាដែលធ្វើអោយយើងភ្ញាក់ផ្អើលជាមួយវាណាស់។ តើអ្នកចាប់អារម្មណ៍នៅថ្ងៃស្អែកនេះមានអ្វីពិសេសនៃពេលវេលាសំរាប់មនុស្សលោកទេ???
គឺថ្ងៃ ខែ និងឆ្នាំដែលមានលេខមួយច្រើនជាងគេលើកទី 1111 ម្ដងទៀតហើយ :D
ហើយអ្វីដែលកាន់តែពិសេសនោះគឺវាត្រូវនឹងថ្ងៃខួបកំណើតមិត្តភក្ដិខ្ញុំ កុំភ្លេចជួនពរមិត្តភក្ដិខ្ញុំផងណា :D

11/05/2011

ចំលើយ Problem 294 Van Khea

Filed under: គណិតវិទ្យាផ្នែកវិសមភាព — van khea @ 8:00 ព្រឹក

នេះជាប្រភេទលំហាត់វិមសភាពមួយដែលខ្ញុំបានតែងជាយូរថ្ងៃយូរខែណាស់មកហើយ តែខ្ញុំនៅមិនទាន់បានសរសេរចំលើយដាក់ផ្សាយទេ។
ដូចនេះថ្ងៃនេះខ្ញុំលើកយកលំហាត់មួយនេះមកស្រាយបញ្ជាក់ជាចំណេះដឹងសំរាប់ប្រិយមិត្តទាំងអស់ :D
ប្រធានលំហាត់ៈ
គេអោយបីចំនួនពិតវិជ្ជមាន a, b, c ផ្ទៀងផ្ទាត់ a^2+b^2+c^2=1 ។ ស្រាយបញ្ជាក់ៈ
\displaystyle \frac{81}{a+b+c}-\frac{4}{abc}\leq 15\sqrt{3}
សំរាយបញ្ជាក់ៈ
វិសមភាពខាងលើសមមូលនឹងៈ
\displaystyle 15\sqrt{3}+\frac{4}{abc}\geq \frac{81}{a+b+c}
តាមវិសមភាព Cauchy-Schwarz យើងមានៈ
\displaystyle \frac{1}{\frac{1}{3\sqrt{3}}}+\frac{1}{\frac{1}{3\sqrt{3}}}+\frac{1}{\frac{1}{3\sqrt{3}}}+\frac{1}{\frac{1}{3\sqrt{3}}}+\frac{1}{\frac{1}{3\sqrt{3}}}+\frac{1}{abc}+\frac{1}{abc}+\frac{1}{abc}+\frac{1}{abc}\displaystyle \geq \frac{(1+1+1+1+1+1+1+1+1)^2}{\frac{5}{3\sqrt{3}}+4abc}
\displaystyle \Leftrightarrow 15\sqrt{3}+\frac{4}{abc}\geq \frac{81}{\frac{5}{3\sqrt{3}}+4abc}
យើងនឹងស្រាយថាៈ
\displaystyle \frac{81}{\frac{5}{3\sqrt{3}}+4abc}\geq \frac{81}{a+b+c}
\displaystyle \Rightarrow a+b+c-4abc\geq \frac{5}{3\sqrt{3}}
តាម Problem 254VanKhea ចំពោះចំនួនពិតវិជ្ជមាន a, b, c យើងមានៈ
(a^2+b^2+c^2)^2+3abc(a+b+c)\leq 3(a^2+b^2)ab+3(b^2+c^2)bc+3(c^2+a^2)ca
ដោយ a^2+b^2+c^2=1 នោះវិសមភាពខាងលើសមមូលនឹងៈ
1+3abc(a+b+c)\leq 3(1-c^2)ab+3(1-a^2)bc+3(1-b^2)ca
\displaystyle \Rightarrow ab+bc+ca\geq 2abc(a+b+c)+\frac{1}{3}
ម្យ៉ាងទៀតចំពោះចំនួនពិតវិជ្ជមាន a, b, c យើងមានៈ
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=1+2(ab+bc+ca)
\displaystyle \Rightarrow ab+bc+ca=\frac{1}{2}(a+b+c)^2-\frac{1}{2}
ដូចនេះយើងទាញបានៈ
\displaystyle \frac{1}{2}(a+b+c)^2-\frac{1}{2}\geq 2abc(a+b+c)+\frac{1}{3}
\displaystyle \Leftrightarrow \frac{1}{2}(a+b+c)^2-2abc(a+b+c)\geq \frac{5}{6}
\displaystyle \Rightarrow (a+b+c)(a+b+c-4abc)\geq \frac{5}{3}
\displaystyle \Rightarrow a+b+c-4abc\geq \frac{5}{3(a+b+c)}
ម្យ៉ាងទៀតតាមវិសមភាព Cauchy-Schwarz ចំពោះចំនួនពិតវិជ្ជមាន a, b, c យើងមានៈ
(a+b+c)^2\leq (1^2+1^2+1^2)(a^2+b^2+c^2)=3(a^2+b^2+c^2)=3
\displaystyle \Rightarrow a+b+c\leq \sqrt{3}
\displaystyle \Rightarrow a+b+c-4abc\geq \frac{5}{3\sqrt{3}} ពិត។
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។ សមភាពកើតមានពេល \displaystyle a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}

ម៉ូដ​ប្លក៖ Rubric។ ដាក់ប្លក នៅប្រព័ន្ធប្លក WordPress.com.

តាមដាន

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 40 other followers