ចំណេះដឹងនិងចំណេះធ្វើ !!!

09/30/2011

Problem 38 van khea: functional equations

Filed under: អនុគមន៍ — van khea @ 2:24 ល្ងាច

រកគ្រប់អនុគមន៍ f:R\longrightarrow R ផ្ទៀងផ្ទាត់ៈ
\displaystyle \frac{f(x)+\alpha f(y)}{2}=f(\frac{x+\alpha y}{2}); \forall{x, y, \alpha \in R}
ចំលើយ
តាង f(1)=a; f(0)=b
យើងពិនិត្យករណី \alpha = 1 នោះយើងបាន \displaystyle \frac{f(x)+f(y)}{2}=f(\frac{x+y}{2}); \forall{x, y\in R}
ជាអនុគមន៍ Jesen ដូចនេះយើងទាញបាន f(x)=ax+b
ករណី \alpha \neq 1 នោះយើងជំនួស \alpha =0 យើងបានៈ
\displaystyle f(\frac{x}{2})=\frac{f(x)}{2}
យក x=0\Rightarrow f(0)=0
ចំពោះ \displaystyle x=1\Rightarrow f(\frac{1}{2})=\frac{f(1)}{2}=\frac{a}{2}
ចំពោះ \displaystyle x=\frac{1}{2}\Rightarrow f(\frac{1}{2^2})=\frac{a}{2^2}
តាមវាចារកំនើនយើងទាញបាន \displaystyle f(\frac{1}{2^n})=\frac{a}{2^n}\Rightarrow f(t)=at; t=\frac{1}{2^n} ប្តូរ t ទៅ x នោះយើងបាន f(x)=ax
យក x=0 នោះយើងទាញបានៈ \displaystyle f(\frac{\alpha y}{2})=\frac{\alpha f(y)}{2}
យក \displaystyle y=1\Rightarrow f(\frac{\alpha}{2})=\frac{\alpha}{2}f(1)=\frac{\alpha}{2}.a
យក \displaystyle t=\frac{\alpha}{2}\Rightarrow f(t)=at ជំនួស t ដោយ x នោះយើងនៅតែបានលទ្ធផល f(x)=ax
ដូចនេះយើងបានចំលើយគឺ \displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ccl}ax+b;if, \alpha=1\\ax; if, \alpha \neq 1\end{array}\right.

មតិ 3 »

  1. ហេតុអី​បាន​ហ៊ាន​ជំនួស \alpha =1​ ??

    មតិ ដោយ ceojimmyps — 10/01/2011 @ 6:58 ព្រឹក | ឆ្លើយតប

  2. ច្រឡំ! ហេតុអី​បាន​ហ៊ាន​ជំនួស \alpha =0​ ??

    មតិ ដោយ ceojimmyps — 10/01/2011 @ 6:59 ព្រឹក | ឆ្លើយតប

  3. ព្រោះ \alpha \in R

    មតិ ដោយ vankhea — 10/01/2011 @ 1:50 ល្ងាច | ឆ្លើយតប


បំរែបំរួល បញ្ជាប់ RSS សំរាប់វិចារ លើប្រកាសនេះ។ តាមដានត្រលប់ URI

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

Gravatar
ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ ( Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបភាព​ពី Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ ( Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ ( Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

បោះបង់

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

ម៉ូដ​ប្លក៖ Rubric។ ដាក់ប្លក នៅប្រព័ន្ធប្លក WordPress.com.

តាមដាន

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 40 other followers