Problem 14 van khea: functional equation

ខែកញ្ញា 2011
ច.	អ.	ព.	ព្រ.	សុ.	សៅ.	អាទិ.
« សីហា		តុលា »
	1	2	3	4
5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25
26	27	28	29	30

Posted by van khea នៅ 09/07/2011

គេអោយ $f(x)$ ជាអនុគមន៍ជាប់និងមានដេរីវេចំពោះគ្រប់ $x$ ។ ចូរកំណត់អនុគមន៍ $f(x)$ បើគេដឹងថាៈ
$\displaystyle f(x)-f(y)=\frac{x+y}{2}f'(x-y); \forall{x, y}$
សំរាយបញ្ជាក់
របៀបទី 1
យើងពិនិត្យករណី $x=y\neq 0$ នោះយើងបាន $f'(0)=0\Rightarrow f(0)=c; c=const$
ករណី $x\neq 0; y=0$ នោះសមីការខាងលើសមមូលនឹងៈ
$\displaystyle f(x)-f(0)=\frac{x}{2}f'(x)$
$\displaystyle \Leftrightarrow f'(x)-\frac{2}{x}f(x)=-\frac{f(0)}{x}$
តាង $\displaystyle y=f(x); p(x)=-\frac{2}{x}; q(x)=-\frac{f(0)}{x}$ នោះសមីការខាងលើសមមូលនឹងៈ
$y'+p(x)y=q(x)$
យើងរកឬងាយនៃសមីការ $y'+p(x)y=0$
$\displaystyle y'=\frac{dy}{dx}$
$\displaystyle \Rightarrow \frac{dy}{y}=-p(x)dx$
$\displaystyle \Rightarrow y=Ce^{-\int\limits p(x)dx}$
$\displaystyle \int\limits p(x)dx=-2ln|x|+c_1$
$\displaystyle \Rightarrow y=Cx^2$
ជំនួសចូលសមីការដើមដើម្បីរកតំលៃ $C$
$\displaystyle C'(x).x^2+C(x).2x-2C(x).x=q(x)$
$\displaystyle \Rightarrow C'(x)=\frac{q(x)}{x^2}=-\frac{f(0)}{x^3}$
$\displaystyle \Rightarrow C(x)=\frac{f(0)}{x^2}+K$
ដូចនេះសមីការមានឬ $\displaystyle y=f(x)=(\frac{f(0)}{x^2}+K).x^2=Kx^2+c; k, c=cosnt$
ចំណាំ សមីការឌីផេរ៉ងស្យែល $y'+p(x)y=q(x)$ មានឬសក្នុងទំរង់ទូទៅគឺៈ
$\displaystyle y=Ke^{-\int\limits p(x)dx}+e^{-\int\limits p(x)dx}.\int\limits q(x)e^{\int\limits p(x)dx}dx$
របៀបទី 2
យើងពិនិត្យករណី $x=y\neq 0$ នោះយើងបាន $f'(0)=0\Rightarrow f(0)=c; c=const$
ករណី $x\neq y\neq 0$ នោះសមីការខាងលើសមមូលនឹងៈ
$\displaystyle \frac{f(x)-f(y)}{(x-y)(x+y)}=\frac{f'(x-y)}{2(x-y)}$
$\displaystyle \Leftrightarrow \frac{f(x)-f(y)}{x^2-y^2}=\frac{f'(x-y)}{2(x-y)}$
តាង $g(x)=x^2\Rightarrow g'(x)=2x\Rightarrow g'(x-y)=2(x-y)$
ដូចនេះសមីការខាងលើសមមូលនឹងៈ
$\displaystyle \frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}=\frac{f'(x-y)}{g'(x-y)}$
តាមទ្រឹស្ដីបទ $Cauchy$ នោះយ៉ាងតិចមានចំនុច $c\in (x, y)$ ដែលធ្វើអោយៈ
$\displaystyle \frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$
ដូចនេះយើងទាញបានៈ
$\displaystyle \frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f'(x-y)}{g'(x-y)}$
តាមទ្រឹស្ដីបទ $Rolle$ នោះយ៉ាងតិចមានចំនុច $c'\in (c, x-y)$ ដែលធ្វើអោយ $\displaystyle \biggl(\frac{f'(c')}{g'(c')}\biggl)'=0$
$\displaystyle \Leftrightarrow \frac{f'(c')}{g'(c')}=K; k=const$
$\displaystyle \Rightarrow f(c')=Kg(c')+q=kc'^2+q$
ដូចនេះអនុគមន៍ $f(x)=Kx^2+q; K, q=const$

Like this:

ប្លកហ្គ័រម្នាក់ចូលចិត្ត អត្ថបទ នេះ។

អត្ថបទនេះត្រូវបានចុះផ្សាយលើ 09/07/2011 ម៉ោង 5:11 ល្ងាច ហើយ ត្រូវបានរៀបជាសំណុំឯកសារ ក្នុង អនុគមន៍. អ្នកអាច តាមមើល គ្រប់ចំលើយ ទៅអត្ថបទនេះ ឆ្លងតាម RSS 2.0 បំរែបំរួលពត៌មាន. អ្នកអាច ទំលាក់ មួយចំលើយ, ឬ តាមដានត្រលប់ ពី វ៉ែបសៃថ៍ផ្ទាល់ខ្លួន របស់អ្នក.

ឆ្លើយតប Cancel reply

Enter your comment here...

Fill in your details below or click an icon to log in:

អ៊ីមេល (Address never made public)

ឈ្មោះ

វែបសាយថ៍

អ្នកកំពុងបញ្ចេញមតិដោយប្រើគណនី WordPress.com របស់អ្នក។ ( Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

អ្នកកំពុងបញ្ចេញមតិដោយប្រើគណនី Twitter របស់អ្នក។ ( Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

អ្នកកំពុងបញ្ចេញមតិដោយប្រើគណនី Facebook របស់អ្នក។ ( Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

បោះបង់

កំពុងភ្ជាប់ទៅកាន់ %s

« Problem 13 van khea: functional equation

Problem 15 van khea: functional equation »

	van khea លើ VK MaTh 2011: សៀវភៅគណិតវិ…
	ចិនរ៉ាយ លើ VK MaTh 2011: សៀវភៅគណិតវិ…
	van khea លើ សៀវភៅគណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ…
	van khea លើ សៀវភៅគណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ…
	ចិនរ៉ាយ លើ សៀវភៅគណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ…
	លឹមម៉េងសាយ លើ សៀវភៅគណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ…
	van khea លើ សៀវភៅគណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ…
	van khea លើ របៀបបញ្ចូលកន្សោមគណិតវិទ្យាក្នង…
	និស្សិតអន្តេរ២០១២ លើ របៀបបញ្ចូលកន្សោមគណិតវិទ្យាក្នង…
	ngetvuthy លើ Problem 313 vankhea គណិតវ…

ចំណេះដឹងនិងចំណេះធ្វើ !!!

ចែកគ្នាចេះ ចែកគ្នាដឹង ចែកគ្នា…

ចំណាត់ក្រុម

អត្ថបទកន្លងមក

ផែនទីប្រទេសកម្ពុជា

ប្រក្រតីទិន

ជំនាវប្រចាំ អ៊ីមែវល៍

ចំនួនអ្នកកំពុងទស្សនា

អ្នកទស្សនា

មតិថ្មីៗ

រៀន

មេតា

Blogroll