Problem 304 Van Khea

ខែកញ្ញា 2011
ច.	អ.	ព.	ព្រ.	សុ.	សៅ.	អាទិ.
« សីហា		តុលា »
	1	2	3	4
5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25
26	27	28	29	30

Posted by van khea នៅ 09/01/2011

គេអោយបីចំនួនពិតវិជ្ជមាន $a, b, c$ ផ្ទៀងផ្ទាត់ $a+b+c=3$ ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ

Let $a, b, c$ be positive real numbers such that $a+b+c=3$ . Prove that

$29(a^2+b^2+c^2)+30abc\geq 6(ab^2+bc^2+ca^2)+99$

Proof

Using the well-known identity $a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=9-2(ab+bc+ca)$

Then the inequality above equivalent to

$29(ab+bc+ca)+3(ab^2+bc^2+ca^2)\leq 81+30abc$

$\Leftrightarrow 29.3(ab+bc+ca)+9(ab^2+bc^2+ca^2)\leq 243+90abc$

$\Leftrightarrow 29(a+b+c)(ab+bc+ca)+9(ab^2+bc^2+ca^2)\leq 243+90abc$

$\Leftrightarrow 29(a^2b+b^2c+c^2a)+38(ab^2+bc^2+ca^2)+42abc\leq 243$

Let $\displaystyle a=\frac{3x}{x+y+z}; b=\frac{3y}{x+y+z}; c=\frac{3z}{x+y+z}; \forall{x, y, z>0}$

The inequality transforms into

$29(x^2y+y^2z+z^2x)+38(xy^2+yz^2+zx^2)+42xyz\leq 9(x+y+z)^3$

$\Leftrightarrow 9(x^3+y^3+z^3)+12xyz\geq 3(x^2y+y^2z+z^2x)+11(xy^2+yz^2+zx^2)$

$\Leftrightarrow x(y+2z-3x)^2+y(z+2x-3y)^2+z(x+2y-3z)^2\geq 0$

Which is clear true. Equality occurs for $x=y=z\Leftrightarrow a=b=c=1$

ទាញយកនៅទីនេះ( download here)

Like this:

ប្លកហ្គ័រម្នាក់ចូលចិត្ត អត្ថបទ នេះ។

អត្ថបទនេះត្រូវបានចុះផ្សាយលើ 09/01/2011 ម៉ោង 2:51 ព្រឹក ហើយ ត្រូវបានរៀបជាសំណុំឯកសារ ក្នុង គណិតវិទ្យាផ្នែកវិសមភាព. អ្នកអាច តាមមើល គ្រប់ចំលើយ ទៅអត្ថបទនេះ ឆ្លងតាម RSS 2.0 បំរែបំរួលពត៌មាន. អ្នកអាច ទំលាក់ មួយចំលើយ, ឬ តាមដានត្រលប់ ពី វ៉ែបសៃថ៍ផ្ទាល់ខ្លួន របស់អ្នក.

ឆ្លើយតប Cancel reply

Enter your comment here...

Fill in your details below or click an icon to log in:

អ៊ីមេល (Address never made public)

ឈ្មោះ

វែបសាយថ៍

អ្នកកំពុងបញ្ចេញមតិដោយប្រើគណនី WordPress.com របស់អ្នក។ ( Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

អ្នកកំពុងបញ្ចេញមតិដោយប្រើគណនី Twitter របស់អ្នក។ ( Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

អ្នកកំពុងបញ្ចេញមតិដោយប្រើគណនី Facebook របស់អ្នក។ ( Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

បោះបង់

កំពុងភ្ជាប់ទៅកាន់ %s

« Problem 303 Van Khea

បើកទំព័រថ្មីជាមួយលំហាត់ស្វីត និងលំហាត់អនុគមន៍ »

	van khea លើ VK MaTh 2011: សៀវភៅគណិតវិ…
	ចិនរ៉ាយ លើ VK MaTh 2011: សៀវភៅគណិតវិ…
	van khea លើ សៀវភៅគណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ…
	van khea លើ សៀវភៅគណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ…
	ចិនរ៉ាយ លើ សៀវភៅគណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ…
	លឹមម៉េងសាយ លើ សៀវភៅគណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ…
	van khea លើ សៀវភៅគណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ…
	van khea លើ របៀបបញ្ចូលកន្សោមគណិតវិទ្យាក្នង…
	និស្សិតអន្តេរ២០១២ លើ របៀបបញ្ចូលកន្សោមគណិតវិទ្យាក្នង…
	ngetvuthy លើ Problem 313 vankhea គណិតវ…

ចំណេះដឹងនិងចំណេះធ្វើ !!!

ចែកគ្នាចេះ ចែកគ្នាដឹង ចែកគ្នា…

ចំណាត់ក្រុម

អត្ថបទកន្លងមក

ផែនទីប្រទេសកម្ពុជា

ប្រក្រតីទិន

ជំនាវប្រចាំ អ៊ីមែវល៍

ចំនួនអ្នកកំពុងទស្សនា

អ្នកទស្សនា

មតិថ្មីៗ

រៀន

មេតា

Blogroll