Problem 221 (van khea)

ខែកក្កដា 2011
ច.	អ.	ព.	ព្រ.	សុ.	សៅ.	អាទិ.
« មិថុនា		សីហា »
	1	2	3
4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17
18	19	20	21	22	23	24
25	26	27	28	29	30	31

Posted by van khea នៅ 07/13/2011

បង្ហាញថាចំពោះចំនួនពិតវិជ្ជមាន $a, b, c$ គេបានៈ $\displaystyle (a^2+b^2+c^2)^3\geq 8\biggl[(ab)^3+(bc)^3+(ca)^3\biggl]$
សំរាយបញ្ជាក់
យើងពិនិត្យលើវិសមភាពខាងលើឃើញថាសមមភាពកើតមានពេលមានពីរចំនួនស្មើគ្នានិងមួយចំនួនទៀតស្មើសូន្យ។ ដូចនេះយើងអាចឧបមាថា $a\geq b\geq c\geq 0$ ។ ឥឡូវយើងសន្មត់ថាមាន $t\geq c\geq 0$ បន្ទាប់មកយើងតាង $a=t+c; b=t-c$ ជំនួសចូលវិសមភាពខាងលើយើងបានៈ
$\displaystyle (a^2+b^2+c^2)^3=((t+c)^2+(t-c)^2+c^2)^3=(2t^2+3c^2)^3$
$\Rightarrow (a^2+b^2+c^2)^3=8t^6+36c^2t^4+54c^4t^2+27c^6$
ម្យ៉ាងទៀតយើងមានៈ
$(ab)^3+(bc)^3+(ca)^3$ $=(ab)^3+c^3(a^3+b^3)=(t^2-c^2)^3+c^3((t+c)^3+(t-c)^3)$
$\Leftrightarrow (ab)^3+(bc)^3+(ca)^3$ $=t^6-3c^2t^4+2c^3t^3+3c^4t^2+6c^5t-c^6$
ដូចនេះយើងត្រូវស្រាយថាចំពោះគ្រប់ $t\geq c\geq 0$ នាំអោយយើងបានៈ
$\displaystyle 8t^6+36c^2t^4+54c^4t^2+27c^6\geq 8(t^6-3c^2t^4+2c^3t^3+3c^4t^2+6c^5t-c^6)$
$\displaystyle \Leftrightarrow 60t^4-16ct^3+30c^2t^2-48c^3t+35c^4\geq 0$
$\displaystyle \Leftrightarrow t^4-\frac{4}{15}t^3+\frac{1}{2}c^2t^2-\frac{4}{5}c^3t+\frac{3}{5}c^4\geq 0$
$\displaystyle \Leftrightarrow (t^2-\frac{2}{15}ct)^2+c^2(\frac{217}{255}t^2-\frac{4}{5}ct+\frac{3}{5}c^2)\geq 0$
តាមវិសមភាពខាងលើនេះយើងគ្រាន់តែស្រាយថា $\displaystyle \frac{217}{255}t^2-\frac{4}{5}ct+\frac{3}{5}c^2\geq 0$ ជាការស្រេច។
យើងមាន $\displaystyle \Delta=(\frac{4}{5}c)^2-4.\frac{217}{225}.\frac{3}{5}c^2<0$
ដូចនេះយើងទាញបាន $\displaystyle \frac{217}{255}t^2-\frac{4}{5}ct+\frac{3}{5}c^2\geq 0$ ពិតជានិច្ច។
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។ សមភាពកើតមានពេល $c=0; a=b=t$ ។

Like this:

Be the first to like this អត្ថបទ.

អត្ថបទនេះត្រូវបានចុះផ្សាយលើ 07/13/2011 ម៉ោង 2:34 ព្រឹក ហើយ ត្រូវបានរៀបជាសំណុំឯកសារ ក្នុង គណិតវិទ្យាផ្នែកវិសមភាព. អ្នកអាច តាមមើល គ្រប់ចំលើយ ទៅអត្ថបទនេះ ឆ្លងតាម RSS 2.0 បំរែបំរួលពត៌មាន. អ្នកអាច ទំលាក់ មួយចំលើយ, ឬ តាមដានត្រលប់ ពី វ៉ែបសៃថ៍ផ្ទាល់ខ្លួន របស់អ្នក.

ឆ្លើយតប Cancel reply

Enter your comment here...

Fill in your details below or click an icon to log in:

អ៊ីមេល (Address never made public)

ឈ្មោះ

វែបសាយថ៍

អ្នកកំពុងបញ្ចេញមតិដោយប្រើគណនី WordPress.com របស់អ្នក។ ( Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

អ្នកកំពុងបញ្ចេញមតិដោយប្រើគណនី Twitter របស់អ្នក។ ( Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

អ្នកកំពុងបញ្ចេញមតិដោយប្រើគណនី Facebook របស់អ្នក។ ( Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

បោះបង់

កំពុងភ្ជាប់ទៅកាន់ %s

« Problem 220 (van khea)

Problem 222 (van khea) »

	van khea លើ VK MaTh 2011: សៀវភៅគណិតវិ…
	ចិនរ៉ាយ លើ VK MaTh 2011: សៀវភៅគណិតវិ…
	van khea លើ សៀវភៅគណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ…
	van khea លើ សៀវភៅគណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ…
	ចិនរ៉ាយ លើ សៀវភៅគណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ…
	លឹមម៉េងសាយ លើ សៀវភៅគណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ…
	van khea លើ សៀវភៅគណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ…
	van khea លើ របៀបបញ្ចូលកន្សោមគណិតវិទ្យាក្នង…
	និស្សិតអន្តេរ២០១២ លើ របៀបបញ្ចូលកន្សោមគណិតវិទ្យាក្នង…
	ngetvuthy លើ Problem 313 vankhea គណិតវ…

ចំណេះដឹងនិងចំណេះធ្វើ !!!

ចែកគ្នាចេះ ចែកគ្នាដឹង ចែកគ្នា…

ចំណាត់ក្រុម

អត្ថបទកន្លងមក

ផែនទីប្រទេសកម្ពុជា

ប្រក្រតីទិន

ជំនាវប្រចាំ អ៊ីមែវល៍

ចំនួនអ្នកកំពុងទស្សនា

អ្នកទស្សនា

មតិថ្មីៗ

រៀន

មេតា

Blogroll