លំហាត់រកដៃគូ

ខែកុម្ភៈ 2011
ច.	អ.	ព.	ព្រ.	សុ.	សៅ.	អាទិ.
« មករា		មីនា »
	1	2	3	4	5	6
7	8	9	10	11	12	13
14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27
28

Posted by van khea នៅ 02/25/2011

គេអោយ $a, b, c>0$ ផ្ទៀងផ្ទាត់ $a^3+b^3+c^3+6abc=1$ ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ

$\displaystyle \frac{ab}{c+a}+\frac{bc}{a+b}+\frac{ca}{b+c}\geq \frac{3}{2}(ab+bc+ca)^2$

លំហាត់ខាងលើនេះខ្ញុំទើបតែនឹងតែងទេ វាក៏មិនសូវជាស្រួលប៉ុន្មានដែរ ។ តែខ្ញុំដឹងមិត្តអ្នកស្រាវជ្រាវទាំងអស់ប្រកដជាអាចស្រាយចេញ

បើថាស្រាយលំហាត់នៅមានការស្ទាក់ស្ទើរនោះ បានន័យថាចំណេះដឹងរបស់អ្នកនៅមានកំរិត ហើយបើដូច្នេះមែននោះការប្រឡងប្រជែង

របស់មិត្តអ្នកសិក្សាប្រាកដជាត្រូវជួបឧបសគ្គហើយ ។

ខ្ញុំអ្នកតែង ឯមិត្តអ្នកសិក្សាជាអ្នកស្រាយ ដូចពាក្យចាស់លោកពោលថាមានអ្នកចងត្រូវតែមានអ្នកស្រាយ។ តែខ្ញុំនៅមិនទាន់បានជួបអ្នក

ដែលចូលចិត្តរៀនវិសមភាពដូចខ្ញុំទេ ហេតុនេះហើយខ្ញុំនៅខ្វះអ្នកស្រាយម្នាក់ដើម្បីជជែកគ្នាពីវិធីសាស្រ្ដនានាដែលធ្លាប់បានជួបកន្លងមក

សង្ឃឹមថាខ្ញុំនឹងអាចរកឃើញដៃគូម្នាក់ដែលមានចិត្តដូចគ្នា ស្រឡាញ់វិសមភាពដូចខ្ញុំ

ចំលើយ

យើងមានៈ $\displaystyle \frac{ab}{c+a}+\frac{bc}{a+b}+\frac{ca}{b+c}= \frac{(ab)^2}{abc+a^2b}+\frac{(bc)^2}{abc+b^2c}+\frac{(ca)^2}{abc+c^2a}$

តាមវិសមភាព Cauchy – Schwarz យើងមានៈ

$\displaystyle \frac{(ab)^2}{abc+a^2b}+\frac{(bc)^2}{abc+b^2c}+\frac{(ca)^2}{abc+c^2a}\geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{a^2b+b^2c+c^2a+3abc}$

$\displaystyle \Rightarrow \frac{ab}{c+a}+\frac{bc}{a+b}+\frac{ca}{b+c}\geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{a^2b+b^2c+c^2a+3abc}$

ដូចនេះយើងត្រូវស្រាយថាៈ $\displaystyle \frac{(ab+bc+ca)^2}{a^2b+b^2c+c^2a+3abc}\geq \frac{3}{2}(ab+bc+ca)^2$

$\displaystyle \Leftrightarrow 2\geq 3(a^2b+b^2c+c^2a+3abc)$

តាមសម្មតិកម្មយើងមានៈ $a^3+b^3+c^3+6abc=1$ នោះវិសមភាពខាងលើសមមូលនឹងៈ

$\displaystyle 2(a^3+b^3+c^3+6abc)\geq 3(a^2b+b^2c+c^2a+3abc)$

$\Leftrightarrow 2(a^3+b^3+c^3)+3abc\geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)$

មិនបាត់បង់លក្ខណៈទូទៅនៃលំហាត់ទេ យើងឧបមាថា $c=min(a, b, c)$ ។ តាង $a=c+p; b=c+q ; p, q\geq 0$

ជំនួសចូលវិសមភាពខាងលើយើងបានៈ

$2(a^3+b^3+c^3)+3abc$ $= 9c^3+9(p+q)c^2+3(2p^2+2q^2+pq)c+2p^3+2q^3$

$3(a^2b+b^2c+c^2a)=9c^3+9(p+q)c^2+3(p^2+q^2+2pq)c+p^2q$

ដកអង្គនិងអង្គនៃសមភាពខាងលើយើងបានៈ

$2(a^3+b^3+c^3)+3abc-3(a^2b+b^2c+c^2a)$ $=(p^2+q^2-pq)c+2p^3+2q^3-3p^2q$

ម្យ៉ាងទៀតយើងមានៈ

$p^2+q^2\geq 2pq\geq pq\Rightarrow p^2+q^2-pq\geq 0$

$2p^3+2q^3=q^3+p^3+p^3+q^3\geq q^3+3\sqrt[3]{p^3.p^3.q^3}=q^3+3p^2q\geq 3p^2q$

$\Rightarrow 2p^3+2q^3\geq 3p^2q$

ដូចនេះយើងបានៈ $(p^2+q^2-pq)c+2p^3+2q^3-3p^2q\geq 0$

$\Rightarrow 2(a^3+b^3+c^3)+3abc-3(a^2b+b^2c+c^2a)\geq 0$

$\Leftrightarrow 2(a^3+b^3+c^3)+3abc\geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)$ ពិត។

ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។ សមភាពកើតមានពេល $p=q=0\Leftrightarrow a=b=c$

ជូនពរការស្រាវជ្រាវរបស់មិត្តអ្នកសិក្សាទទួលបានជោគជ័យដូចក្ដីប្រាថ្នា ពីខ្ញុំ វ៉ាន់ ឃា

Like this:

Be the first to like this អត្ថបទ.

អត្ថបទនេះត្រូវបានចុះផ្សាយលើ 02/25/2011 ម៉ោង 5:57 ល្ងាច ហើយ ត្រូវបានរៀបជាសំណុំឯកសារ ក្នុង គណិតវិទ្យាផ្នែកវិសមភាព. អ្នកអាច តាមមើល គ្រប់ចំលើយ ទៅអត្ថបទនេះ ឆ្លងតាម RSS 2.0 បំរែបំរួលពត៌មាន. អ្នកអាច ទំលាក់ មួយចំលើយ, ឬ តាមដានត្រលប់ ពី វ៉ែបសៃថ៍ផ្ទាល់ខ្លួន របស់អ្នក.

ឆ្លើយតប Cancel reply

Enter your comment here...

Fill in your details below or click an icon to log in:

អ៊ីមេល (Address never made public)

ឈ្មោះ

វែបសាយថ៍

អ្នកកំពុងបញ្ចេញមតិដោយប្រើគណនី WordPress.com របស់អ្នក។ ( Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

អ្នកកំពុងបញ្ចេញមតិដោយប្រើគណនី Twitter របស់អ្នក។ ( Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

អ្នកកំពុងបញ្ចេញមតិដោយប្រើគណនី Facebook របស់អ្នក។ ( Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

បោះបង់

កំពុងភ្ជាប់ទៅកាន់ %s

« សន្យាអាចដោះសារបានច្រើនរាប់មិនអស់

ឆ្លើយតែមួយម៉ាត់អោយត្រូវតែម្ដង »

	van khea លើ VK MaTh 2011: សៀវភៅគណិតវិ…
	ចិនរ៉ាយ លើ VK MaTh 2011: សៀវភៅគណិតវិ…
	van khea លើ សៀវភៅគណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ…
	van khea លើ សៀវភៅគណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ…
	ចិនរ៉ាយ លើ សៀវភៅគណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ…
	លឹមម៉េងសាយ លើ សៀវភៅគណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ…
	van khea លើ សៀវភៅគណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ…
	van khea លើ របៀបបញ្ចូលកន្សោមគណិតវិទ្យាក្នង…
	និស្សិតអន្តេរ២០១២ លើ របៀបបញ្ចូលកន្សោមគណិតវិទ្យាក្នង…
	ngetvuthy លើ Problem 313 vankhea គណិតវ…

ចំណេះដឹងនិងចំណេះធ្វើ !!!

ចែកគ្នាចេះ ចែកគ្នាដឹង ចែកគ្នា…

ចំណាត់ក្រុម

អត្ថបទកន្លងមក

ផែនទីប្រទេសកម្ពុជា

ប្រក្រតីទិន

ជំនាវប្រចាំ អ៊ីមែវល៍

ចំនួនអ្នកកំពុងទស្សនា

អ្នកទស្សនា

មតិថ្មីៗ

រៀន

មេតា

Blogroll