ចំណេះដឹងនិងចំណេះធ្វើ !!!

ចែកគ្នាចេះ ចែកគ្នាដឹង ចែកគ្នា…

«
»

លំហាត់វិសមភាព

Posted by van khea ​នៅ 02/14/2011

(van khea) គេអោយបីចំនួនពិតវិជ្ជមាន a, b, c\geq 1 ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ
\displaystyle \frac{1}{(1+a)(a^2+b^2)}+\frac{1}{(1+b)(b^2+c^2)}+\frac{1}{(1+c)(c^2+a^2)}\geq \frac{3}{4a^2b^2c^2}
សំរាយបញ្ជាក់
យើងមាន 2x^2-x-1=2x^2-2x+x-1=(x-1)(2x-1)\geq 0\forall{x\geq 1}
\displaystyle \Rightarrow 2x^2\geq x+1\Rightarrow \frac{1}{x+1}\geq \frac{1}{2x^2}
សមភាពកើតមានពេល x=1
ដូចនេះយើងបានៈ
\displaystyle \frac{1}{1+a}\geq \frac{1}{2a^2}
\displaystyle \frac{1}{1+b}\geq \frac{1}{2b^2}
\displaystyle \frac{1}{1+c}\geq \frac{1}{2c^2}
សមភាពកើតមានពេល a=b=c=1
ដូចនេះយើងទាញបានៈ
\displaystyle \frac{1}{(1+a)(a^2+b^2)}+\frac{1}{(1+b)(b^2+c^2)}+\frac{1}{(1+c)(c^2+a^2)}\displaystyle \geq \frac{1}{2a^2(a^2+b^2)}+\frac{1}{2b^2(b^2+c^2)}+\frac{1}{2c^2(c^2+a^2)}
ដូចនេះយើងត្រូវស្រាយថាៈ \displaystyle \frac{1}{2a^2(a^2+b^2)}+\frac{1}{2b^2(b^2+c^2)}+\frac{1}{2c^2(c^2+a^2)}\geq \frac{3}{4a^2b^2c^2}
\displaystyle \Leftrightarrow \frac{1}{a^2(a^2+b^2)}+\frac{1}{b^2(b^2+c^2)}+\frac{1}{c^2(c^2+a^2)}\geq \frac{3}{2a^2b^2c^2}
ម្យ៉ាងទៀតយើងមាន \displaystyle a^4\geq a^2\forall{a\geq 1}\Rightarrow \frac{1}{a^2}\geq \frac{1}{a^4}
ដូចនេះយើងទាញបានៈ
\displaystyle \frac{1}{a^2(a^2+b^2)}+\frac{1}{b^2(b^2+c^2)}+\frac{1}{c^2(c^2+a^2)}\displaystyle \geq \frac{1}{a^4(a^2+b^2)}+\frac{1}{b^4(b^2+c^2)}+\frac{1}{c^4(c^2+a^2)}\displaystyle \geq \frac{1}{3}\biggl(\frac{1}{a^2\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{1}{b^2\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{1}{c^2\sqrt{c^2+a^2}}\biggl)^2\displaystyle \geq \frac{1}{a^2b^2\sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}}+\frac{1}{b^2c^2\sqrt{(b^2+c^2)(c^2+a^2)}}+\frac{1}{c^2a^2\sqrt{(c^2+a^2)(a^2+b^2)}}
ឥឡូវយើងត្រូវស្រាយថាៈ
\displaystyle \frac{1}{a^2b^2\sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}}+\frac{1}{b^2c^2\sqrt{(b^2+c^2)(c^2+a^2)}}+\frac{1}{c^2a^2\sqrt{(c^2+a^2)(a^2+b^2)}}\displaystyle \geq \frac{3}{2a^2b^2c^2}
\displaystyle \Leftrightarrow \frac{2c^2}{\sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}}+\frac{2a^2}{\sqrt{(b^2+c^2)(c^2+a^2)}}+\frac{2b^2}{\sqrt{(c^2+a^2)(a^2+b^2)}}\geq 3
តាង u^2=a^2+b^2; v^2=b^2+c^2; w^2=c^2+a^2
\Rightarrow 2a^2=w^2+u^2-v^2; 2b^2=u^2+v^2-w^2; 2c^2=v^2+w^2-u^2
ដូចនេះវិសមភាពខាងលើសមមូលនឹងៈ
\displaystyle \frac{v^2+w^2-u^2}{uv}+\frac{w^2+u^2-v^2}{vw}+\frac{u^2+v^2-w^2}{wu}\geq 3
\displaystyle \Leftrightarrow w(v^2+w^2-u^2)+u(w^2+u^2-v^2)+v(u^2+v^2-w^2)\geq 3uvw
\Rightarrow u^3+v^3+w^3+u^2v+v^2w+w^2u\geq uv^2+vw^2+wu^2+3uvw
ម្យ៉ាងទៀតតាមវិសមភាព Cauchy យើងមានៈ
u^3+w^2u\geq 2wu^2
v^3+u^2v\geq 2uv^2
w^3+v^2w\geq 2vw^2
បូកអង្គនិងអង្គនៃវិសមភាពខាងលើយើងបានៈ
u^3+v^3+w^3+u^2v+v^2w+w^2u\geq 2(uv^2+vw^2+wu^2)
ម្យ៉ាងទៀតយើងមាន 2(uv^2+vw^2+wu^2)=uv^2+vw^2+wu^2+uv^2+vw^2+wu^2
តាមវិសមភាព Cauchy យើងមានៈ uv^2+vw^2+wu^2\geq 3uvw
\Rightarrow u^3+v^3+w^3+u^2v+v^2w+w^2u\geq uv^2+vw^2+wu^2+3uvw ពិត។
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។ សមភាពកើតមានពេល u=v=w\Leftrightarrow a=b=c=1

នេះជាប្រភេទវិសមភាពមួយដែលទាមទារអោយយើងចេះបែងចែកនូវសម្មតិកម្ម ។

ជូនពរការស្រាវជ្រាវរបស់មិត្តអ្នកសិក្សាទាំងអស់ទទួលបានជោគជ័យ ពីខ្ញុំ វ៉ាន់ ឃា :D

អត្ថបទនេះ​ត្រូវ​បាន​ចុះផ្សាយ​លើ​ 02/14/2011 ម៉ោង 12:31 ល្ងាច ហើយ ត្រូវបានរៀបជាសំណុំឯកសារ ក្នុង គណិតវិទ្យាផ្នែកវិសមភាព. អ្នកអាច តាមមើល គ្រប់ចំលើយ ទៅអត្ថបទនេះ ឆ្លងតាម RSS 2.0 បំរែបំរួលពត៌មាន. អ្នក​អាច ទំលាក់ មួយចំលើយ, ឬ តាមដានត្រលប់ ពី វ៉ែបសៃថ៍ផ្ទាល់ខ្លួន របស់អ្នក.

2 ចំលើយ ទៅ “លំហាត់វិសមភាព”

  1. សនិងខ្មៅ បាននិយាយ

    02/20/2011 ម៉ោង 3:30 ព្រឹក

    ការបកស្រាយបានគ្រប់ជ្រុងជ្រោយ ត្រឹមត្រូវ ។ ប៉ុន្តែខ្ញុំមានចំងល់មួយដែលចង់សួរថា ៖ តើបងដឹងវិធីសាស្រ្តដោះស្រាយនេះមកពីណា ? ប្រសិនបើបងពន្យល់បន្ថែមពីហេតុអ្វីបានជាបងដោះស្រាយតាមរបៀបនេះ វារឹតតែផ្តល់អោយអ្នកអានកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការគិតចំណោទ​ដទៃទៀតប្រហាក់ប្រហែលនេះ ។

    ឆ្លើយតប

  2. khea បាននិយាយ

    02/20/2011 ម៉ោង 4:46 ព្រឹក

    អរគុណ ចំពោះបញ្ហាដែលសនិងខ្មៅបានសួរនោះដូចជាពិបាកបន្តិច ព្រោះថាខ្ញុំក៏រកវិធីសាស្រ្ដដើម្បីកំណត់ថាលំហាត់
    រាងនេះត្រូវដោះស្រាយបែបនេះ លំហាត់រាងបែបនោះត្រូវដោះស្រាយផ្សេងពីនោះ។ តែខ្ញុំមិនអាចកំនត់បានតែ លំហាត់
    ដែលយើងអាចកំណត់រាងរបស់វាបានមានតែប្រភេទលំហាត់ដែលដាក់អោយចូលក្នុងទ្រឹស្ដីបទណាមួយ គ្រប់លំហាត់
    ដែលដាក់អោយនៅឆ្ងាយពីទ្រឹស្ដីបទ ជាប្រភេទលំហាត់ដែលយើងត្រូវរកវិធីសាស្រ្ដផ្សេងៗមកស្រាយ ហើយវិធីសាស្រ្ដ
    ទាំងនោះ យើងមិនអាចកំណត់អោយពិតប្រាកដថាត្រូវតែធ្វើអញ្ចឹងនោះទេ យើងអាចមានវិធីផ្សេងទៀត ក៏អាចស្រាយ
    ចេញដែរ។ ហេតុនេះខ្ញុំមិនអាចនិយាយថាវិធីខាងលើជាវិធីតែមួយគត់សំរាប់ស្រាយលំហាត់ដែលមានរាងបែបនេះនោះទេ
    មានតែអ្នកសិក្សាត្រូវតែចំណាំដោយខ្លួន​ឯងហើយ :D

    ឆ្លើយតប

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

Gravatar
ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ ( Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបភាព​ពី Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ ( Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ ( Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

បោះបង់

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

«
»
 
តាមដាន

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 40 other followers