លំហាត់ 87: van khea

ខែវិច្ឆិកា 2010
ច.	អ.	ព.	ព្រ.	សុ.	សៅ.	អាទិ.
« តុលា		ធ្នូ »
1	2	3	4	5	6	7
8	9	10	11	12	13	14
15	16	17	18	19	20	21
22	23	24	25	26	27	28
29	30

Posted by van khea នៅ 11/29/2010

ស្រាយបញ្ជាក់ថាចំពោះចំនួនវិជ្ជមាន $a\geq b\geq c\geq 0 ; r, s, t\geq 0 ; r\geq s$ គេបានៈ

$\displaystyle \sum_{cyc}a^{r+s+t}+\sum_{cyc}a^rb^sc^t\geq \sum_{cyc}a^sb^r(a^t+b^t)$

សំរាយបញ្ជាក់

ចំណាំ

$\displaystyle \sum_{cyc}a^{r+s+t}=a^{r+s+t}+b^{r+s+t}+c^{r+s+t}$

ខាងលើនេះជាទ្រឹស្ដីបទមួយដែលពិបាកវិភាគខ្លាំងណាស់ ខាងក្រោមនេះជាការសាកល្បងស្រាយបញ្ជាក់របស់ខ្ញុំ ។

ហើយការស្រាយនេះមានភាពស្មុគស្មាញច្រើន ហេតុនេះខ្ញុំសង្ឃឹមថាមិត្តអ្នកស្រាវជ្រាវគណិតវិទ្យាផ្នែកវិសមភាពទាំងអស់នឹង

រកឃើញនូវវិញធីស្រាយបញ្ជាក់មួយថ្មីពីនេះ ហើយមានលក្ខណៈកាន់តែច្បាស់លាស់និងទូលំទូលាយជាងនេះ ។

វិសមភាពខាងលើសមមូលនឹងៈ

$(a^r-b^r)(a^s-c^s)a^t+(b^r-c^r)(b^s-a^s)b^t+(c^r-a^r)(c^s-b^s)c^t\geq 0$

មិនបាត់បង់លក្ខណៈទូទៅនៃលំហាត់ទេ យើងឧបមាថា $a\geq b\geq c$ នោះវិសមភាពខាងលើសមមូលនឹង

$(a^r-b^r)(a^s-c^s)a^t-(b^r-c^r)(a^s-b^s)b^t+(a^r-c^r)(b^s-c^s)\geq 0$

តាង $m=(a^r-b^r)(a^s-c^s) ; n=(b^r-c^r)(a^s-b^s) ; p=(a^r-c^r)(b^s-c^s)$ $\Rightarrow m, n, p\geq 0$

ជាដំបូងយើងនឹងស្រាយថា $\forall{a\geq b\geq c}\Rightarrow m\geq n$

យើងឧបមាថា $r\geq s$ នោះយើងត្រូវស្រាយថាៈ

$(a^r-b^r)(a^s-c^s)\geq (b^r-c^r)(a^s-b^s)$ ឬ $Min(m)\geq Max(n)$

ដើម្បីអោយ $m\rightarrow Min(m) ; n\rightarrow Max(n)$ លុះត្រាតែ $a^r-b^r\rightarrow Min$ និង $b^r-c^r\rightarrow Max$

ឬយើងអាចនិយាយថាពេល $b\rightarrow a ; c\rightarrow 0$

តែបើយើងអោយ $b\rightarrow a\Rightarrow a^s-b^s\rightarrow Min$ ដូចនេះដើម្បីអោយ $n\rightarrow Max(n)$ លុះត្រាតែយើងយក $c\rightarrow 0$ ឬ $c=0$

បើ $c=0$ នោះវិសមភាពខាងលើទៅជាៈ

$(a^r-b^r)a^s\geq b^r(a^s-b^s)$

$\Leftrightarrow a^{r+s}+b^{r+s}\geq 2a^sb^r$

ឥឡូវយើងនឹងស្រាយថាចំពោះចំនួនវិជ្ជមាន $a, b, r, s$ គេបានៈ

$a^{r+s}+b^{r+s}\geq a^rb^s+a^sb^r$

តាង $a=kb$ ជំនួសចូលវិសមភាពខាងលើយើងបានៈ

$k^{r+s}b^{r+s}+b^{r+s}\geq k^rb^{r+s}+k^sb^{r+s}$

$\Leftrightarrow k^{r+s}+1\geq k^r+k^s ; \forall{b\neq 0 ; r, s\geq 0}$

$\Leftrightarrow k^r.k^s-k^s-k^r+1\geq 0$

$\Leftrightarrow k^s(k^r-1)-(k^r-1)\geq 0$

$\Leftrightarrow (k^r-1)(k^s-1)\geq 0$ ពិតព្រោះបើ $a\leq b\Rightarrow k\leq 1$ ហើយបើ $a\geq b\Rightarrow k\geq 1$ ។

ដូចនេះយើងបានៈ

$a^{r+s}+b^{r+s}\geq a^rb^s+a^sb^r$

តែចំពោះ $r\geq s$ យើងមាន $a^rb^s+a^sb^r\geq 2a^sb^r\Leftrightarrow a^rb^s\geq a^sb^r$ $\Rightarrow a^{r-s}\geq b^{r-s}$ ពិតជានិច្ចគ្រប់ $a\geq b ; r\geq s$

ដូចនេះចំពោះ $a\geq b\geq c ; r\geq s$ យើងបាន $m\geq n$ ។

យើងមានៈ $ma^t-nb^t+pc^t=(a^t-b^t)m+(b^t-c^t)(m-n)+c^t(m-n+p)\geq 0$ ពិតជានិច្ចគ្រប់

$a\geq b\geq c ; m, n, p, t\geq 0 ; m\geq n$

ដូចនេះទ្រឹស្ដីបទខាងលើត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់ ។ សមភាពកើតមានពេល $a=b=c$

ករណីពិសេស

បើ $r=s$ នោះវិសមភាពខាងលើពិតជានិច្ចចំពោះគ្រប់ $a, b, c\geq 0$

បើ $a\geq b\geq c$ និង $b^2\leq ca$ នោះវិសមភាពខាងលើពិតជានិច្ចគ្រប់ $r, s, t\geq 0$

Like this:

Be the first to like this អត្ថបទ.

អត្ថបទនេះត្រូវបានចុះផ្សាយលើ 11/29/2010 ម៉ោង 7:54 ព្រឹក ហើយ ត្រូវបានរៀបជាសំណុំឯកសារ ក្នុង ទ្រឹស្ដីបទ. អ្នកអាច តាមមើល គ្រប់ចំលើយ ទៅអត្ថបទនេះ ឆ្លងតាម RSS 2.0 បំរែបំរួលពត៌មាន. អ្នកអាចរំលង ទៅចុងបញ្ចប់ និង ដាក់មួយចំលើយ។ បច្ចុប្បន្ន មិនអនុញ្ញាត ការភីង។

ឆ្លើយតប Cancel reply

Enter your comment here...

Fill in your details below or click an icon to log in:

អ៊ីមេល (Address never made public)

ឈ្មោះ

វែបសាយថ៍

អ្នកកំពុងបញ្ចេញមតិដោយប្រើគណនី WordPress.com របស់អ្នក។ ( Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

អ្នកកំពុងបញ្ចេញមតិដោយប្រើគណនី Twitter របស់អ្នក។ ( Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

អ្នកកំពុងបញ្ចេញមតិដោយប្រើគណនី Facebook របស់អ្នក។ ( Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

បោះបង់

កំពុងភ្ជាប់ទៅកាន់ %s

« លំហាត់ 86: វិសមភាព Nesbitt

លំហាត់ 88: Schur’s inequality »

	van khea លើ VK MaTh 2011: សៀវភៅគណិតវិ…
	ចិនរ៉ាយ លើ VK MaTh 2011: សៀវភៅគណិតវិ…
	van khea លើ សៀវភៅគណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ…
	van khea លើ សៀវភៅគណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ…
	ចិនរ៉ាយ លើ សៀវភៅគណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ…
	លឹមម៉េងសាយ លើ សៀវភៅគណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ…
	van khea លើ សៀវភៅគណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ…
	van khea លើ របៀបបញ្ចូលកន្សោមគណិតវិទ្យាក្នង…
	និស្សិតអន្តេរ២០១២ លើ របៀបបញ្ចូលកន្សោមគណិតវិទ្យាក្នង…
	ngetvuthy លើ Problem 313 vankhea គណិតវ…

ចំណេះដឹងនិងចំណេះធ្វើ !!!

ចែកគ្នាចេះ ចែកគ្នាដឹង ចែកគ្នា…

ចំណាត់ក្រុម

អត្ថបទកន្លងមក

ផែនទីប្រទេសកម្ពុជា

ប្រក្រតីទិន

ជំនាវប្រចាំ អ៊ីមែវល៍

ចំនួនអ្នកកំពុងទស្សនា

អ្នកទស្សនា

មតិថ្មីៗ

រៀន

មេតា

Blogroll