លំហាត់ 76: van khea

11/23/2010 បញ្ចេញមតិ

ស្រាយបញ្ជាក់ថាចំពោះចំនួនវិជ្ជមាន a, b, c ផ្ទៀងផ្ទាត់ a\leq b\leq c គេបានៈ
\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a+b}}+\frac{b}{\sqrt{b+c}}+\frac{c}{\sqrt{c+a}}\leq \sqrt{\frac{3}{2}(a+b+c)}
ចំលើយ
វិសមភាពខាងលើសមមូលនឹងៈ​
\displaystyle \frac{2a}{\sqrt{a+b}}+\frac{2b}{\sqrt{b+c}}+\frac{2c}{\sqrt{c+a}}\leq 2\sqrt{\frac{3}{2}(a+b+c)}
តាង x=\sqrt{a+b} ; y=\sqrt{c+a} ; z=\sqrt{b+c}
តាមសម្មតិកម្ម a\leq b\leq c\Rightarrow x\leq y\leq z
ម្យ៉ាងទៀតយើងមានៈ
\displaystyle 2a=x^2+y^2-z^2 ; 2b=z^2+x^2-y^2; 2c=y^2+z^2-x^2
ដូចនេះយើងត្រូវស្រាយថាៈ
\displaystyle \frac{x^2+y^2-z^2}{x}+\frac{y^2+z^2-x^2}{y}+\frac{z^2+x^2-y^2}{z}\leq 2\sqrt{\frac{3}{2}(a+b+c)}
តាមវិសមភាពទី 74 van khea ចំពោះ x\leq y\leq z យើងមានៈ
\displaystyle \frac{x^2+y^2-z^2}{x}+\frac{y^2+z^2-x^2}{y}+\frac{z^2+x^2-y^2}{z}\leq x+y+z
ម្យ៉ាងទៀតយើងមានៈ
\displaystyle x+y+z=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\leq 3\sqrt{\frac{2(a+b+c)}{3}}\displaystyle =2\sqrt{\frac{3}{2}(a+b+c)}
ដូចនេះយើងបានៈ
\displaystyle \frac{x^2+y^2-z^2}{x}+\frac{y^2+z^2-x^2}{y}+\frac{z^2+x^2-y^2}{z}\leq 2\sqrt{\frac{3}{2}(a+b+c)} ពិត ។
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់ ។ សមភាពកើតមានពេល a=b=c

បានរៀបជា សំណុំឯកសារ ក្នុង គណិតវិទ្យាផ្នែកវិសមភាព

បញ្ចេញមតិ