ខែឧសភា 2012
ច.	អ.	ព.	ព្រ.	សុ.	សៅ.	អាទិ.
« មេសា
	1	2	3	4	5	6
7	8	9	10	11	12	13
14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27
28	29	30	31

Cauchy-Schwarz’s inequality

ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត $a_1 ; a_2 ; ... ; a_n ; b_1 ; b_2 ; ... ; b_n ; \forall{n\in N^{*}}$ គេបាន

$(a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2\leq (a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2)$

លក្ខណៈទូទៅនៃវិសមភាព Bunhiacopski

ចំពោះគ្រប់ចំនួនវិជ្ជមាន $a_1, a_2, ..., a_n , b_1, b_2, ... , b_n$ និងចំពោះ $p\geq 2$ គេបាន

$\displaystyle \biggl(\frac{a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n}{n}\biggl)^p\leq \biggl(\frac{a_1^p+a_2^p+...+a_n^p}{n}\biggl).\biggl(\frac{b_1^p+b_2^p+...+b_n^p}{n}\biggl)$

សំរាយបញ្ជាក់

របៀបទី ១

តាង $f(x) = (a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)x^2 - 2(a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)x + b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2$

$f(x) = (a_1x - b_1)^2 + (a_2x - b_2)^2 + ... + (a_nx - b_n)^2\geq 0 ; \forall{a_i ; b_i ; x\in R}$

តាមលក្ខណៈសមីការដឺក្រេទី2 ដោយ $af(x) > 0$ $\Longrightarrow \Delta'\leq 0$

$\Delta' = (a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2 - (a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2)\leq 0$

$\Longrightarrow (a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2\leq (a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2)$

របៀបទី 2

យើងមាន $(a - b)^2\geq 0 \forall{a , b\in R} \Longrightarrow a^2 + b^2\geq 2ab$

$\displaystyle \Longrightarrow \frac{1}{2}.a^2 + \frac{1}{2}.b^2 ; (1)$

តាង $\displaystyle S = \sum_{i = 1}^{n}a_i^2$ និង $\displaystyle S' = \sum_{i = 1}^{n}b_i^2$

យក $\displaystyle a = \frac{a_i}{\sqrt{S}}$ និង $\displaystyle b = \frac{b_i^2}{\sqrt{S'}}$

តាម $\displaystyle (1) \Longrightarrow \frac{1}{2}.\frac{a_i^2}{S} + \frac{1}{2}.\frac{b_i^2}{S'}\geq \frac{a_ib_i}{\sqrt{S.S'}}$

យក $i = 1 ; 2 ; ... ; n$ តាមលំដាប់រូចបូកអង្គនិងអង្គនៃវិសមភាពខាងលើគេបាន

$\displaystyle \frac{1}{2}.\frac{\sum_{i = 1}^{n}a_i^2}{S} + \frac{1}{2}.\frac{\sum_{i = 1}^{n}b_i^2}{S'}\geq \frac{\sum_{i = 1}^{n}a_ib_i}{\sqrt{S.S'}}$

$\displaystyle \frac{1}{2}.\frac{S}{S} + \frac{1}{2}.\frac{S'}{S'}\geq \frac{\sum_{i = 1}^{n}a_ib_i}{\sqrt{S.S'}}$

$\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\geq \frac{\sum_{i = 1}^{n}a_ib_i}{\sqrt{S.S'}}$

$\displaystyle 1\geq \frac{\sum_{i = 1}^{n}a_ib_i}{\sqrt{S.S'}}$

$\displaystyle \Longrightarrow \sqrt{S.S'}\geq \sum_{i = 1}^{n}a_ib_i$

$\displaystyle (\sum_{i = 1}^{n}a_ib_i)^2\leq S.S' = \sum_{i = 1}^{n}a_i^2.\sum_{i = 1}^{n}b_i^2$

$\Longrightarrow (a_1b_i + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2\leq (a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2)$

សំរាយបញ្ជាក់ករណីទូទៅ

របៀបទី 1

យើងពិនិត្យករណី $k>1$

តាង $f(x)=x^k , x\geq 0 , k> 1$

$f'(x)=kx^{k-1}$

$f''(x)=k(k-1)x^{k-2}>0$

តាមវិសមភាព Jensen គេបាន

$\displaystyle \biggl(\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}\biggl)^k\leq \frac{x_1^k+x_2^k+...+x_n^k}{n}$

តាមវិសមភាពខាងលើ ចំពោះ $p=2$ យើងបានពិតជានិច្ច ឥឡូវយើងពិនិត្យករណី $p>2$ យើងបាន

$\displaystyle \biggl(\frac{a_1b_1+...+a_nb_n}{n}\biggl)^p=\biggl[\biggl(\frac{a_1b_1+...+a_nb_n}{n}\biggl)^{\frac{p}{2}}\biggl]^{2}$ $\displaystyle \leq \biggl(\frac{a_1^{\frac{p}{2}}b_1^{\frac{p}{2}}+...+a_n^{\frac{p}{2}}b_n^{\frac{p}{2}}}{n}\biggl)^2$

តែយើងមាន $(a_1b_1+...+a_nb_n)^2\leq (a_1^2+...+a_n^2)(b_1^2+...+b_n^2)$

ដូចនេះយើងបាន

$\displaystyle \biggl(\frac{a_1^{\frac{p}{2}}b_1^{\frac{p}{2}}+...+a_n^{\frac{p}{2}}b_1^{\frac{p}{2}}}{n}\biggl)^2\leq \biggl(\frac{a_1^p+...+a_n^p}{n}\biggl)\biggl(\frac{b_1^p+...+b_n^p}{n}\biggl)$

សរុបមកយើងបាន

ចំពោះគ្រប់ចំនួនវិជ្ជមាន $a_1, a_2, ..., a_n , b_1, b_2, ... , b_n$ និងចំពោះ $p\geq 2$ គេបាន

$\displaystyle \biggl(\frac{a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n}{n}\biggl)^p\leq \biggl(\frac{a_1^p+a_2^p+...+a_n^p}{n}\biggl).\biggl(\frac{b_1^p+b_2^p+...+b_n^p}{n}\biggl)$

នេះជាការស្រាយបញ្ជាក់មួយដែលខ្ញុំបានគិតអស់ជាច្រើនខែទំរាំរកនឹកថាត្រូវស្រាយយ៉ាងម៉េច

សង្ឃឹមថាវានឹងអាចជួយលោកអ្នកដោះស្រាយលំហាត់បានលឿនជាងមុន វាអាចកាត់បន្ថយការ

ស្មុគស្មាញរបស់អ្នកបានច្រើន។

របៀបទី 2 អនុវត្តន៍វិសមភាព Van Khea

យើងមានៈ

$\displaystyle x_1^p+x_2^p+...+x_n^p=\frac{(x_1y_1)^p}{1^{p-2}.y_1^p}+\frac{(x_2y_2)^p}{1^{p-2}.y_2^p}+...+\frac{(x_ny_n)^p}{1^{p-2}.y_n^p}$

$\displaystyle \geq \frac{(x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n)^p}{(1+1+...+1)^{p-2}(y_1^p+y_2^p+...+y_n^p)}$

$\displaystyle \Longrightarrow \biggl(\frac{x_1^p+x_2^p+...+x_n^p}{n}\biggl)\biggl(\frac{y_1^p+y_2^p+...+y_n^p}{n}\biggl)\geq \biggl(\frac{x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n}{n}\biggl)^p$

វ៉ាន់ ឃា

ត្រឡប់មកទំព័រ វិសមភាព Cauchy

បន្តទៅទំព័រ វិសមភាព Cauchy – Schwarz

Like this:

Be the first to like this ទំព័រ.

ឆ្លើយតប Cancel reply

Enter your comment here...

Fill in your details below or click an icon to log in:

អ៊ីមេល (Address never made public)

ឈ្មោះ

វែបសាយថ៍

អ្នកកំពុងបញ្ចេញមតិដោយប្រើគណនី WordPress.com របស់អ្នក។ ( Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

អ្នកកំពុងបញ្ចេញមតិដោយប្រើគណនី Twitter របស់អ្នក។ ( Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

អ្នកកំពុងបញ្ចេញមតិដោយប្រើគណនី Facebook របស់អ្នក។ ( Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

បោះបង់

កំពុងភ្ជាប់ទៅកាន់ %s

	van khea លើ VK MaTh 2011: សៀវភៅគណិតវិ…
	ចិនរ៉ាយ លើ VK MaTh 2011: សៀវភៅគណិតវិ…
	van khea លើ សៀវភៅគណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ…
	van khea លើ សៀវភៅគណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ…
	ចិនរ៉ាយ លើ សៀវភៅគណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ…
	លឹមម៉េងសាយ លើ សៀវភៅគណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ…
	van khea លើ សៀវភៅគណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ…
	van khea លើ របៀបបញ្ចូលកន្សោមគណិតវិទ្យាក្នង…
	និស្សិតអន្តេរ២០១២ លើ របៀបបញ្ចូលកន្សោមគណិតវិទ្យាក្នង…
	ngetvuthy លើ Problem 313 vankhea គណិតវ…

ចំណេះដឹងនិងចំណេះធ្វើ !!!

ចែកគ្នាចេះ ចែកគ្នាដឹង ចែកគ្នា…

ចំណាត់ក្រុម

អត្ថបទកន្លងមក

ផែនទីប្រទេសកម្ពុជា

ប្រក្រតីទិន

ជំនាវប្រចាំ អ៊ីមែវល៍

ចំនួនអ្នកកំពុងទស្សនា

អ្នកទស្សនា

មតិថ្មីៗ

រៀន

មេតា

Blogroll

Cauchy-Schwarz’s inequality